Статическая сторона задачи

ПРОСТЫЕ ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ. КРУЧЕНИЕ

9.1. Определение внутренних усилий при кручении

Кручение – простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Стержень, работающий на кручение, в дальнейшем будем называть валом .

Используя метод мысленных сечений (см. рисунок), находим величину внутренних усилий, действующих в сечении вала при кручении. Очевидно, что в данном случае нагружения из шести уравнений равновесия, составленных для отсеченной части стержня относительно внешних сил и внутренних усилий, лишь одно не обращается тождественно в ноль:

Таким образом, при кручении в произвольном поперечном сечении вала из шести внутренних силовых факторов возникает только один – внутренний крутящий момент(Мx).

9.2. Определение напряжений и деформаций при кручении

Выведем формулу для определения касательных напряжений τ и найдем зависимость между углом закручивания ϕ и внутренним крутящим моментом Мx. Данная задача применительно к валам круглого сечения может быть решена с помощью элементарного математического аппарата, если ввести соответствующие гипотезы, которые достаточно хорошо подтверждаются экспериментами.

Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);

2) все радиусы данного сечения остаются прямы-

ми (не искривляются) и поворачиваются на один и

тот же угол ϕ, то есть каждое сечение поворачивается относительно оси x как жесткий тонкий диск;

3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.

Статическая сторона задачи

Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях стержня, рассмотрим, прежде всего, статическую сторону задачи.

Поскольку крутящий момент Мx – единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.

В сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии ρ от продольной оси (ось x) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения τ, которые создадут элементарный крутящий момент dMx относительно оси x:

Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как

где τ – касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA,

расположенной на произвольном расстоянии (радиусе) ρ от центра сечения.

Перпендикулярность вектора касательных напряжений радиусу объясняется отсутствием на поверхности вала касательных напряжений, параллельных его оси, и, соответственно (по закону парности касательных напряжений), отсутствием касательных напряжений вдоль радиуса.

Как видим, задача является внутренне статически неопределимой (см. лекцию № 4), так как неизвестен характер распределения касательных напряжений по сечению – τ(ρ)=?. В соответствии с общим планом решения статически неопределимых задач, рассмотрим геометрическую картину деформаций.