Мультипольное разложение

1. Мы знаем, что если распределение зарядов в пространстве известно, то распределение потенциала в принципе, также известно и задается в виде интеграла (15) (или суммы, в случае точечных зарядов) ϕ(r→) = ∫ ρ(r→′ dV ′) ∣r→ −r→′∣ , ϕ(r→) = ∑ α qα r→ −r→α′. (17.15)

Для практических расчетов эти выражения обычно малополезны. Однако, имеется важный случай – исследование поля на больших расстояниях от системы зарядов, занимающих ограниченную область пространства – когда из решения (15) получаются простые формулы мультипольного разложения потенциала, справедливые при произвольном распределении зарядов.

Итак, пусть некоторая система зарядов занимает ограниченную

область пространства с характерным размером a и начало координат находится где-то внутри этой области, как показано на рис. 27. Тогда для радиусов-векторов r→′ зарядов системы и радиуса-вектора r→ далекой точки наблюдения, входящих в (15), справедливы оценки r′≤ a,r ≫ a, которые как раз и позволяют получить искомое разложение. Для этого рассмотрим дробь 1∕∣r→ −r→′∣ из (15). Знаменатель дроби представим как расстояние от начала координат до точки с координатами x − x′,y − y′,z − z′, немного отличающимся от координат точки наблюдения x,y,z. (На рис. 27 это расстояние показано пунктирной прямой). По известному правилу разложения функции трех переменных в ряд Тейлора отсюда имеем

1 ∣r→ −r→′∣ = 1 r(x − x′,y − y′,z − z′) =

= 1 r(x,y,z) + ∂ ∂xi 1 r ⋅ (−xi′) + 1 2 ∂2 ∂xi∂xj 1 r ⋅ xi′x j′ + ... (17.26)

Здесь использовано тензорное правило суммирования по повторяющемуся индексу с использованием вместо x′,y′,z′ и x,y,z обозначений xi′, xi(i = 1,2,3).

Для начала ограничимся первыми двумя членами разложения (26)

1 ∣r→ −r→′∣ = 1 r + (−r→′) ⋅ grad 1 r = 1 r + r→′⋅r→ r3

и из (15) получим

ϕ(r→) ≈ Q r + d→ ⋅r→ r3 ,

где

Q = ∫ ρ(r→′)dV ′Q = ∑ αqα ,

d→ = ∫ ∫ ∫ r→′ρ(r→′)dV ′d→ = ∑ αqα .

(17.27)

Здесь Q – суммарный заряд и d→ – дипольный момент системы; в скобках соотвествующие выражения даны для случая точечных зарядов.

Таким образом, на большом расстоянии от системы зарядов главный член разложения

ϕ(0) = Q r

определяется суммарным зарядом. Следовательно, на таких расстояниях поле E→ совпадает с полем точечного заряда Q, находящегося в начале координат.

Следующий, дипольный член разложения ϕ(1) = d→ ⋅r→ r3, (17.28)

определяемый дипольным моментом системы, является малой поправкой к кулоновскому. Дипольный потенциал становится главным, если суммарный заряд системы равен нулю. Обратим внимание, что дипольный потенциал осесимметричен относительно направления вектора d→ и может быть представлен в виде ϕ(1) = d ⋅ cosθ r2, (17.29)

где θ – угол между направлениями векторов d→ и R→. Напомним, что выражение (29) уже фигурировало раньше как одно из решений (25) уравнения Лапласа в сферических координатах.

2. О влиянии выбора начала координат на вектор d→. Из самого определения (27) видно, что дипольный момент в общем случае зависит от выбора начала координат. При переносе его из точки O в точку O′ с вектором переноса OO′→ = b→ радиусы-векторы зарядов r→α′ заменяются на b→ + r→α′ и, следовательно, дипольные моменты d→,d→′ связаны соотношением d→ = ∑ αqαr→α = Qb→ + d→′. Отсюда видно, что при Q = 0 дипольный момент не зависит от выбора начала координат и однозначно описывает пространственное распределение разноименных зарядов. При Q≠0всегда можно выбрать такое b→ = d→∕Q, чтобы получить d→′ = 0.Следовательно, дипольный момент системы характеризует смещение «центра» этой системы зарядов.

Пример. Дипольный момент системы двух зарядов −e,e. По определению d→ = e(r→+′−r→−′) = ea→, т.е.дипольный момент рассматриваемой системы определяется пространственным вектором, соединяющим два заряда (см. рис. 28).

3. Поле диполя. Здесь имеется в виду найти поле системы зарядов с суммарным зарядом Q = 0, характеризующейся дипольным моментом d→, на больших расстояних от зарядов. Из (28) имеем E→(r→) = grad d→ ⋅r→ r3 = (d→⋅r→)grad 1 r3 + 1 r3 grad(d→ ⋅r→) = 3(d→ ⋅r→)r→ − r2d→ r5. (17.30)

С использованием единичного вектора n→ = r→ r , направленного вдоль радиуса-вектора точки наблюдения (рис. 29), полученную формулу часто представляют в виде

E→(r→) = 3(n→ ⋅d→)n→ −d→ r3 .(30′)

4.Сила и момент сил, действующие на диполь со стороны внешнего электрического поля. Пусть рассматриваемая система зарядов Q = 0 и d→≠0 находится в некотором внешнем электрическом поле E→(r→). Чтобы система могла рассматриваться как диполь, необходимо, естественно, чтобы размер системы a был существенно меньше характерного радиуса ℓ, на котором внешнее поле заметно меняется. В этом случае напряженность поля в точке r→, входящая в выражения

F→ = ∫ V ρ(r→)E→(r→)dV,N→ = ∫ V [ρ(r→)r→ ×E→(r→)]dV

для суммарной силы и суммарного момента сил, может быть вычислена через поле и производные поля в фиксированной точке O (в «центре» диполя)

E→(r→) = E(0) + (r→ ⋅∇)E→;

т.е. слагаемое (r→ ⋅∇)E→ (в векторном анализе называется градиентом вектора E→ по направлению вектора r→) в данном случае вычисляется в фиксированной точке O. Вследствие этого при интегрировании по объему V эти производные выносятся из под знака интеграла и результат для E→ приобретает вид F→ = (d→ ⋅∇)E→ = dx∂E→ ∂x + dy∂E→ ∂y + dz∂E→ ∂z (17.31)

(поле E→(0) при интегрировании пропадает из-за Q = 0 ). Для суммарного момента сил при интегрировании достаточно ограничиться значением E→(0) и в результате получаем N→ = [d→ ×E→]. (17.32)

Таким образом, сила (31), действующая на диполь со стороны внешнего электрического поля, зависит от быстроты изменения этого поля в направлении вектора d→. Естественно, в однородном поле эта сила равна нулю. Момент сил (32), действующий на диполь, стремится повернуть диполь так, чтобы его дипольный момент стал параллелен полю E→ в месте расположения диполя (рис. 30).

Заметим для дальнейшего, что при выводе формул (31), (32) никаких предположений относительно внешнего поля не делалось. Если же рассматривается электростатическое поле E→ = gradϕ, которое удовлетворяет уравнению rotE→ = 0, (17.33)

формулу для силы, действующей на диполь, можно привести к виду

F→ = gradU,

связав силу с потенциальной энергией U диполя во внешнем электрическом поле. Рассмотрим два разных варианта диполей.

Случай так называемого твердого диполя, когда его дипольный момент d→ не зависит от положения диполя в пространстве, занятом полем. Тогда из формулы векторного анализа

grad(a→ ⋅b→) = (a→ ⋅∇)b→ + (b→ ⋅∇)a→ + [a→ × rotb→] + [b→ × rota→]

с учетом уравнения (33) и условия d→ = const получается

grad(d→ ⋅E→) = (d ⋅∇)E→

и, следовательно, формула (31) приобретает искомый вид E→grad(d→ ⋅E→),

(17.34)

т.е.

U = −(d→ ⋅E→),еслиd→ = const.

Случай упругого диполя. Существуют системы зарядов, дипольный момент которых пропорционален полю E→, в котором находится система (например, система зарядов нейтральной молекулы). Для них

d→ = αE→,α = const.

При этом с помощью приведенной формулы векторного анализа получаем

grad(d→ ⋅E→) = αgrad(E→ ⋅E→) = α ⋅ 2(E→ ⋅∇)E→ = 2(d→ ⋅∇)E→,

т.е.

(d→ ⋅∇)E→ = 1 2grad(d→ ⋅E→).

Отсюда формула (31) приобретает вид F→ = 1 2grad(d→ ⋅E→); (17.35)

следовательно,

U = −1 2(d→ ⋅E→),еслиd→ = αE→.

5. Перейдем к следующему, квадрупольному, члену разложения ϕ(2), получающемуся как результат постановки последнего слагаемого (26) в выражение (15):

ϕ(2) = 1 2 ∫ xi′x j′ρ(r→′)dV ′⋅ ∂2 ∂xixj 1 r.

С введениеv обозначения

Qij = ∫ xi′x j′ρ(r→)dV ′

результат можно представить в виде

ϕ(2) = 1 2Qij ∂2 ∂xixj 1 r.

Симметричный тензор Qij = Qji иногда принимается за тензор квадрупольных моментов. Часто, однако, несколько отличный тензор, а именно Dij = ∫ (3xi′x j′− r′2δ ij)ρ(r′→)dV ′, (17.36)

тоже симметричный, принимают в качестве тензора квадрупольных моментов. Удобство нового тензора связано с тем, что его след равен нулю, т.е. δijDij = Dii = 0. (17.37)

С учетом того, что функция 1∕r(x,y,z) удовлетворяет уравнению Лапласа

Δ 1 r = ∂2 ∂xi 1 r = δij ∂2 ∂xi2∂xj 1 r = 0,

легко заметить, что

1 2Qij ∂2 ∂xi∂xj 1 r = 1 6Dij ∂2 ∂xi2∂xj 1 r.

Последовательно вычисляя приоизводные функции 1∕r, нетрудно убедиться, что

∂2 ∂xi∂xj 1 r = 3xixj − r2δij r5

и, следовательно,

ϕ(2) = 1 6Dij3xixj − r2δij r5 .

Учитывая свойство (37), квадрупольный потенциал можно привести к окончательному виду ϕ(2) = 1 2Dijxixj r5. (17.38)

Отсюда видно, что с увеличением расстояния r ϕ(2) спадает как 1∕r3, в то время как дипольный потенциал ∼ 1∕r2, а кулоновский, как 1∕r.

Заметим, что существуют системы зарядов, у которых как суммарный заряд, так и дипольный момент равны нулю. Для таких систем именно квадрупольный потенциал является главным.

Пример. Поле линейного квадруполя, т.е. системы трех зарядов, показанных на рисунке. Соответствующие заряды расположены на оси z в точках с координатами ±a и z = 0. Видно, что у этой системы Q = 0 и d→ = 0. Оси x,y,z являются главными осями для тензора Dij рассматриваемой системы зарядов, так как ось z – ось симметрии, отсюда с учетом (37) следует, что

D11 = D22 = −1 2D,D33 = D,

т.е. тензор Dij полностью определяется значением одного диагонального элемента D33. Замечаем, что заряд −2q с нулевыми координатами вклада в D33 не вносит и от оставшихся двух зарядов q имеем

D33 = 2q(3a2 − a2) = 4qa2.

Таким образом, квадрупольный потенциал равен

ϕ(2) = 1 2r5(D11x2 + D 22y2 + D 33z2) = D 2r5 −1 2(x2 + y2) + z2

и после перехода с сферическим координатам (r,θ,α) принимает вид

ϕ(2) = D 2r3 cos2θ −1 2sin2θ = D 2r3 3cos2θ − 1 2 = D 2r3P2(cosθ),

т.е. совпадает с одним из решений (25) уравнения Лапласа, соответствующим номеру ℓ = 2.