Руководство системного программиста
КУРСОВАЯ РАБОТА
По предмету: «Технология разработки программных продуктов»
На тему: «Численное решение алгебраических уравнений методом касательных»
Автор:
Студент 4 курса, гр.ПМ-4-1 (10) Н.К. Гараев
Проверил: С.Г. Смирнов
Миасс
Содержание
| Аннотация Введение 1. Общая часть 1.1 Постановка задачи 1.2 Описание математической модели 1.3 Обоснование и описание метода реализации 2. Специальная часть 2.1 Описание алгоритма 2.2 Описание программы 2.3 Руководство системного программиста 2.4 Руководство программиста 2.5 Руководство оператора 2.6 Интерпретация и анализ результатов Заключение Список используемой литературы Приложения 1. Листинг программы 2. Результаты решения программы 3. Контрольный пример |
Аннотация
В данной курсовой работе рассмотрен принцип численное решение алгебраических уравнений, комбинированным методом хорд и касательных, а также в среде Delphi 7 была разработана программа, реализующая алгоритм решение уравнения комбинирование методом хорда и касательных. В пояснительной записке приводится описание как самого метода решения, выдача ответа пользователю, так и самой программы.
Введение
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Общая часть
Постановка задачи
Написать программу выполняющую численное решение алгебраических уравнений, комбинированным методом хорд и касательных. Результат работы программы должен выводиться на экран.
В программе реализовать следующее меню:
1) Ввести данные с клавиатуры.
2) Осуществить проверку на введённые данные в уравнение.
3) Вывести ответ на экран.
4) Выход.
Описание математической модели
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале a; b существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.
Так как f ’(x) ¹ 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:
x = x – (f (x) / f ’(x))
Решая его методом итераций можем записать :
xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))
Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :
y = f (b) + f ’(b) * (x – b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :
x = b – (f (b) /f ‘(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :
x1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))
Вообще :
xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | £ | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| £ e влечет выполнение неравенства |c-x k-1| £ e .
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :
|c-x k-1| £ e .
Обоснование и описание метода реализации
В курсовом проекте реализована программа решение уравнений в соответствии с заданием к курсовому проекту.
При решении поставленной задачи оптимально использовать язык Delphi, который является языком высокого уровня и позволяет быстро и эффективно создавать приложения, обладающие удобным графическим пользовательским интерфейсом, предоставляет наиболее широкие возможности для программирования приложений ОС Windows.
Специальная часть
Описание алгоритма
| |
При запуске программа появляется форма выбора метода решение уравнения. Уравнение заноситься вручную, если какое-то значение лишнее просто поставьте ноль перед ним, так же вручную заноситься интервал и точность. Если забыли вести значение вылезет предупреждение. Так же существует кнопка очистить, очищает веденые значение и таблицу.
Руководство системного программиста
Для работы программы необходим файл Project.exe. Вывод результата будет производиться непосредственно в самой программе.
Минимальные системные требования для работы данной программы:
1. Процессор с частотой 800 Мгц;
2. Оперативная память – 64 мб;
3. 640 кб свободного места на жестком диске;
4. Операционная система Windows.