Интегрирование по частям

Раздел I.

Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:

F'(x)= ƒ(x).

Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);

Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:

F1(x) – F2(x) = C;

Доказательство.

Так как F1(x) первообразная для функции ƒ(x), то F1'(x)= ƒ(x).

Так как F2(x) первообразная для функции ƒ(x), то F2'(x)= ƒ(x).

Вычтем из первого равенства второе:

F1' (x) – F2'(x) = 0,

(F1(x) – F2(x))' = 0;

Обозначим F1(x) – F2(x)=φ(x), тогда φ'(x)=0;

Покажем, что φ(x) принимает постоянные значения.

Применим φ(x) на отрезке [a,x] теорему Лагранжа.

φ(x) – φ(a) = φ'(ξ)(x-a), a< ξ <x ,

так как φ'(ξ)=0, то φ(x) – φ(a) =0, то есть φ(x) = φ(a).

φ(a) = С, φ(x) =С;

F1(x) – F2(x) = C;

Замечание:из теоремы следует, что, если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.

Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

∫ƒ(x) dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x),

ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;

ƒ(x)dx – называется подынтегральным выражением;

Свойства неопределенного интеграла:

1.(∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);

Доказательство.

(∫ƒ(x)dx)' = (F(x)+C)' = F'(x) = ƒ(x);

2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;

Доказательство.

d∫ƒ(x)dx = (∫ƒ(x)dx)' · dx = | по свойству 1| = ƒ(x)dx;

3. ∫d F(x) = F(x) + C;

Доказательство.

Возьмем дифференциал от левой части:

d ∫dF(x) = dF(x) (по свойству 2 )

найдем дифференциал от правой части:

d (F(x) + C) = dF(x) + dC = dF(x)

Получили, что обе части равны.

4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.

Найдем производную от левой и от правой частей:

(∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx)' = |по св-ву 1| = ƒ1(x)+ ƒ2(x)

(∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx)' = (∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx)' = ƒ1(x) + ƒ2(x).

5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.

Доказательство.

(∫k·ƒ(x)dx)' = k·ƒ(x);

(k·∫ƒ(x)dx)' = k·(∫ƒ(x)dx)' = k·∫ƒ(x);

6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции u(x), т.е. если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;

∫ƒ(u)du = F(u) + C;

Доказательство.

Имеем: ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;

F'(x) = ƒ(x),

Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности, т.е. форма его не зависит от того является ли x независимой переменной или некоторой функцией

от x, то дифференциал

dF(u) = F'(u)du = ƒ(u)du

F'(u) = ƒ(u)

∫ƒ(u)du = ∫dF(u) = | по свойству 3 | = F(u) + C.

Таблица основных интегралов.

1. ∫ xαdx = xα+1/ (α+1) + C α ≠-1	1. ∫ uα du = uα+1/ (α+1) + C α ≠-1
2. = ln |x| + C	2. = ln |u| + C
3. ∫ ex= ex + C	3. ∫ eu = eu + C
4. ∫ ax dx = ax/lna + C	4. audu = au/lna + C
5. ∫sin(x)dx = - cos(x) + C	5. ∫sin(u)du= - cos(u) + C
6. ∫cos(x)dx = sin(x) + C	6. ∫cos(u)du = sin(u) + C
7. = tg(x) + C	7. = tg(u) + C
8. = -ctg(x) + C	8. = -ctg(u) + C
9. = arcsin ( )+ C	9. = arcsin ( )+C

10. = ln | x + | + C	10. = ln |u + | + C
11. = arctg( )+C	11. = arctg( )+C
12. = ln | | + C	12. = ln | | + C
13 = ln | | + C	13. = ln | | + C
14. = ln |tg( )| + C	14. = ln |tg( )| + C
15. = ln |tg( )| + C	15. = ln |tg( )| + C
16.∫ tg(x) dx = – ln |cos(x)| + C	16.∫tg(u) du = – ln |cos(u)| + C
17.∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C	17.∫ ctg(u) du = ln |sin(u)| + C

Проверим формулу 9.

(arcsin )' = = = ;

Проверим формулу 10.

(ln| x + | )' = = = ;

Проверим формулу 11.

( arctg )' = = ;

Поверим формулу 12.

( a ∙ ln | |)' = = = ;

Проверим формулу 14.

(ln |tg( )|)' = = = ;

Проверим формулу 15.

Пусть cos(x) = sin(x + )

= = ln |tg( )| + C;

Проверим формулу 16.

∫tg(x) dx = ∫ = – ∫ – = - ∫ = – ∫ = – ln |cos(x)| + C;

Проверим формулу 17.

∫ ctg(x) dx = ∫ = ∫ = =ln |sin(x)| + C;

Пример:

1. ∫ dx = ∫(8-3x)6/5 dx = | d(8-3x) = – 3dx | = – ∫(8-3x)6/5 (– 3dx) =

– ∫(8 –3x)6/5 d(8-3x) = – (8-3x)11/5 + C.

_____

2. ∫x√4 + x² dx = ∫(4 + x²)1/2x dx = | d(4 + x²) = 2x dx| = 1/2 · ∫(4 + x²)1/22x dx =

= ·∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) = = + C;

______

3. ∫3√sin²(x) · cos(x)dx = ∫(sin(x))2/3 d(sin(x)) = 5/3 (sin(x))5/3 + C

4. Найти интеграл.

dx= dx = | | = = arcsin (x3) + C.

§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:

∫ƒ(x)dx = ∫ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

Доказательство.

Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл ∫ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой.

По определению1 неопределенного интеграла

∫ƒ(x)dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x)

Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции: ƒ(φ(t))·φ'(t).

Для этого найдем (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| =

= F'(φ(t))·φ'(t);

Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда

(F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)

∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt = F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx.

∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) ·φ'(t) dt.

Пример:

= | ex +1 = t2 ; = t ; ex = t2 – 1 ; x = ln(t2 –1 ) ; dx = dt | =

= = 2 = 2∙ = +C.

Интегрирование по частям.

Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

Проинтегрируем это равенство:

∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU –формула интегрирования по частям.

Пример:вычислить∫x · sin(x) dx

I способ.

∫x · sin(x) dx = | U=x; dU = dx; dV = sin(x) dx; ∫dV= ∫sin(x) dx;V = -cos(x)| =

= -x · cos(x) - ∫(- cos(x)) dx= -x · cos(x) + sin(x) + C;

II способ.

∫x · sin(x) dx = | U = sin(x); dU=cos(x) dx; dV=x dx; V=∫x dx = ; | = · sin(x) –

∫ · cos(x) dx.

Замечание:классы функций интегрируем по частям.

I класс – это интегралы вида:

∫Pn(x) · eax dx;

∫Pn(x) · sin(a·x) dx;

∫Pn(x) · cos(a·x)dx , где Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае U = Pn(x);

II класс – это интегралы вида:

1.∫Pn(x) · ln(a·x) dx;

2.∫Pn(x) · arcsin(x) dx;

3.∫Pn(x) · arctg(x) dx , где в качестве 1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);

Пример:

∫x2 · ln(1+x) dx ;

∫x2 · ln(1+x) dx = | U= ln(1+x); dU= ; dV = x2 dx; V= ; | = ln(1+x) · –

· ∫ dx = | выделим целую часть:

x3 |x+1

¯ x3+x2 x2-x+1

- x2

¯- x2–x_

x

¯ x+1

-1

значит, _ x3_ = x2 – x +1 + -1_ ; | =

x+1 x+1

= ·ln(1+x) – dx = ·ln(1+x) – · + – + · =

= ·ln(1+x) – · + – + ·ln(x+1) +C;

Пример2: интеграл вида:

∫ex · sin(x) dx = | U = ex; dU= exdx; dV= sin(x) dx; V=∫sin(x) dx = –cos(x); | = –ex · cos(x) + + ex · sin(x) – ∫ex · sin(x) dx;

∫ex · sin(x) dx = –ex · cos(x) + + ex · sin(x) – ∫ex · sin(x) dx;

получили уравнение относительно интеграла, неизвестным является интеграл.

2 ∫ex · sin(x) dx = ex · (sin(x) – cos(x) );

∫ex · sin(x) dx = · ex · (sin(x) – cos(x) ) + C;