Экстремальные классы для интегральных операторов в равномерной метрике

Критерии оптимальности, рассмотренные выше, не исчерпывают все интересные для приложений ситуации. Важными оказываются критерии, в которых минимизируется верхняя грань абсолютных значений. К таким критериям могут быть сведены требования максимизации функции взаимной корреляции между изучаемым распределением физического параметра и заданным к ней приближением. Минимизация верхней грани соответствует минимизации в равномерной метрике. Это случай нерефлексивных пространств и соответствующая вариационная задача, вообще говоря, не имеет единственного решения. Можно лишь надеяться охарактеризовать свойства одного из решений и, тем самым получить конструктивной описание одной из ветвей экстремального класса . Сделать это можно лишь в некоторых частных случаях вида оператора , но они охватывают многие интересные приложения

Пусть область V есть горизонтальная полоса в нижнем полупространстве . Пусть, далее, K(x,y,z) – функция из такая что при каждом Оператор А определен следующим образом:

(5.46)

Обозначим и рассмотрим задачу[23]:

(5.47)

В силу свойств функции K(x,y,z) А - непрерывен из в для Следовательно, А непрерывен из С(V) в С(Е), и, следовательно, - есть сдвиг замкнутого в C(V) пространства KerA. Тогда решение задачи (47) существует. Однако, в силу того, что норма в C(V) не сильно выпукла, ее решение, вообще говоря, не единственно. Почти тривиален такой результат.

Множество решений задачи (47) при есть замкнутое выпуклое множество.

Доказательство. Замкнутость очевидна, поскольку минимизируемый функционал - непрерывен в C(V). Следует доказать выпуклость . Пусть и - два решения задачи (47), доставляющие значение d функционалу . Тогда их выпуклая комбинация есть также элемент из . В силу неравенства:

,

имеем , поскольку в противоположном случае элемент доставлял бы функционалу в (47) меньше, чем d значение и, следовательно, и не являлись бы решением задачи (47). Таким образом, любая выпуклая комбинация элементов из есть снова элемент из .

Существование, но возможная неединственность решения задачи (47), позволяет сделать вывод о том, что экстремальный класс есть полный, но не идеальный, поскольку не есть класс единственности. Поставим перед собой задачу выделения в подмножества, являющего почти идеальным, которое будем отождествлять с . Прежде чем приступить к дальнейшим рассмотрениям, сделаем следующее замечание. Предположим, что следует решить более общую, чем (47) задачу:

(5.48)

Где замкнутый оператор, отображающий в себя.

Тогда замена переменных сводит ее к:

(5.49)

Если удовлетворяет требованиям, наложенным ранее на оператор А, то, характеризуя элемент являющийся решением задачи (49), тем самым, будет охарактеризован и элемент являющийся решением (48) (необходимо, чтобы было определено и однозначно).

В соответствии с теоремой двойственности, для того, чтобы элемент был решением задачи (32), необходимо и достаточно, чтобы в сопряженном к C(V) пространстве нашелся функционал и:

а)

b) ; (5.50)

c) .

Схема дальнейших рассуждений следующая. Мы намерены “угадать” вид множества решений задачи (48) при . Далее покажем, что для угаданного элемента могут быть выполнены условия (50^а-с), что и будет служить доказательством тому, что “угаданный” элемент действительно служит решением задачи (48). Наконец, покажем, что на выделенном классе из “угаданных” элементов уравнение однозначно и плотно разрешимо, что и будет завершать доказательство того, что выделенное множество есть почти идеальный экстремальный подкласс (далее называем его классом) класса . Дополнительные условия на вид функции будут вводится по мере надобности, и в конце мы резюмируем результат.

Предположим, что функция не зависит от вертикальной координаты – z (это и есть “догадка”), т.е. , где s=(x,y).

В силу теоремы о ядре, устанавливающей ортогональность ядра оператора и множества значений его сопряженного замкнутого в * - слабой топологии (см. прил.2.4) условие (50^с) дает выражение для : принадлежит * - слабому замыканию в пространстве , где:

(5.51)

Здесь . Это означает, что принадлежит множеству пределов последовательностей функций из относительно сходимости в смысле:

для .

Пусть - последовательность элементов из . Тогда:

Где функция, полученная из интегрированием по координате . Эту операцию сокращенно обозначим :

Следует показать, что последовательности из может быть поставлена в соответствие последовательность такая, что для ее предельных элементов и из условия следует .

Если множество функций из С(V), не зависящих от вертикальной координаты и образующих подпространство C(E₀) в C(V), не имеет элементов, принадлежащих ядру оператора А, то образ при отображении плотен в L₁(E₀). Действительно, если это не так, то в L₁(E₀) должен найтись элемент g(s) и

.

Но, отсюда после подстановки выражения из (51), получим:

Последнее означает, что Ag(s)=0, что противоречит условию. В силу доказанной плотности в , существует последовательность , сходящаяся к и

.

Далее приведенное выше равенство гарантирует выполнение (50^b). Следует теперь показать, что и для прообраза элемента выполнено и условие (50^a)_. Нетрудно видеть, что ||R||=1. Следовательно Необходимо доказать строгое равенство. Это будет выполнено в дополнительном предположении: . Действительно, обозначим - множество в неотрицательных функций, а - отрицательных. Ясно, что каждая из функций может быть представлена в виде своих положительной и отрицательной компонент. Тогда:

Последнее справедливо в силу положительности функции .

Требуемое доказано. Предположение о независимости от вертикальной координаты характеризует одно из решений задачи (47).

Резюмируем сказанное.

Пусть оператор А имеет вид (46), действует из C(V) в C(E₀), является линейным, ограниченным и в C(E₀) имеет плотную область значений. Если и класс функций из C(V), не зависящих от вертикальной координаты, не входит в ядро операторов А и А*, то множество функций, не зависящих от вертикальной координаты, есть почти идеальный экстремальный класс . Напомним, что - единичный оператор.

То, что множество независящих от вертикальной координаты функций есть экстремальный подкласс класса уже выяснено. Условие единственности решения уравнения на этом множестве входит в перечень ограничений на оператор . Следует еще показать, что уравнение плотно разрешимо на .

Если это не так, то в C(E₀) существует элемент , и

.

Но, тогда:

,

откуда следует, что Î KerA*, что противоречит требованиям теоремы о том, что на C(E₀) уравнение однозначно разрешимо.

5.5. Построение решений на экстремальных классах

Идеальные и почти идеальные экстремальныеклассы относительно введенных критериев , охватывают большое число случаев. Они включают в себя и рассмотренный ранее случай , для операторов представимых в вида (46). Их особая значимость состоит в том, что они образуют линейное подпространство в . Это дает возможность конструктивного решения задачи о выделении элемента на экстремальном классе.

Почти идеальный экстремальный класс (41) имеющий представление , позволяет с любой наперед заданной точностью решить задачу:

при условии . Для ее решения введем итерационный процесс:

(5.52)

Здесь a_n – параметры релаксации, выбираемые так, чтобы обеспечить сходимость итерационного процесса. В предположении существования параметров релаксации итерационного процесса (52), обеспечивающих его сходимость (позже будет показано, что такой выбор параметров возможен), легко получить:

(5.53)

где y - некоторый элемент из области определения . Таким образом, приходим к выводу о том, что итерационный процесс (52), при условии его сходимости, сходится к решению, имеющему представление (41), являющееся необходимым и достаточным для того, чтобы найденный элемент был решением исходной задачи:

Рассмотрим теперь способ выбора параметра релаксации a_n, обеспечивающего сходимость итерационного процесса (52).

Потребуемчтобы выбор параметра релаксации обеспечивал максимальную скорость убывания невязки полей . Легко понять, что:

(5.54)

Тогда:

jⁿ⁺¹ = Axⁿ⁺¹– y = jⁿ + a_n A (F^-1 F^*-1 A^* (xⁿ) (A – y)).

Выберем в качестве Y гильбертово пространство L₂ . Тогда:

||jⁿ⁺¹||²= ||jⁿ||² + a_n <jⁿ ½A (F^-1 F^*-1 A^* jⁿ> +a_n² || A^/ (F^-1 F^*-1 A^* jⁿ||².

Последнее равенство перепишем в виде: ||jⁿ⁺¹||²= qⁿ ||jⁿ||², где

(5.55)

В выражении (55) функция qⁿ зависит от a_n. Максимальная скорость сходимости будет обеспечена, если a_n минимизирует эту функцию. Для нахождения минимума (экстремума) дифференцируем (55) по a_n, результат приравниваем к нулю и решаем соответствующее уравнение. В результате получим:

В эквивалентной форме:

(5.56)

Необходимо убедиться, что при выборе параметра релаксации a_n по формуле (57) значение q_n лежит в интервале [0 – 1]. Этим будет обеспечено монотонное убывание невязки и, тем самым, сходимость итерационного процесса (52) по невязке. Подставив (56) в (55), получим:

(5.57)

Числитель в последнем равенстве перепишем: .

Отсюда, с учетом хорошо известного неравенства Шварца:

и

Требуемое доказано – величина q_n вещественна, положительна и не превосходит единицы. Этим обеспечивается монотонность убывания невязки и сходимость итерационного процесса.

Рассмотрим предельные случаи. Если при некотором n, , то это значит, что , и процесс сошелся к точному решению A = y. Реально такое положение дел недостижимо. Всегда остается нескомпенсированная невязка. Рассмотрим другой предельный случай - . Из (57) следует, что в этом случае . В силу наложенного ранее условия об отсутствии ненулевого пересечения у ядер операторов F^*-1 и A^* отсюда вытекает , а в силу известной теоремы о ядре ( см. прил2.4) это означает ортогональность невязки возможному множеству значений оператора В геофизических терминах этот результат означает то, что достигнутая невязка не может быть компенсирована в рамках введенных модельных представлений, и задача требует введения компонент модели более широких, чем используемые.

В реальных ситуациях поле задано с погрешностями, и количество выполняемых итераций необходимо согласовывать с точностью задания поля. На практике итерации продолжаются до тех пор, пока процесс (52) либо не прекратил сходимость, что означает необходимость смены модельных представлений (например, выбор более широкого модельного класса), либо не достигнута требуемая точность: ||jⁿ|| £ d. Условие приостановки итерационного процесса по достижении заданной невязки может быть обобщено и заменено обобщенной невязкой, включающей в себя и оценку погрешности оператора так, как это проделано в 4.3. Однако эти вопросы относятся к числу конкретно-методических для конкретных модификаций методов.

Нелинейные задачи

Касаясь использования критериальных принципов для доопределения решений нелинейных задач, следует выделить два круга вопросов. Во–первых, это собственно характеризация экстремальных классов, которая может быть выполнена в весьма ограничительных предположениях относительно свойств оператора . Эти ограничения касаются, прежде всего, возможности использования принципов линеаризации задачи – приближенной ее заменой линейным аналогом. Однако после того как линеаризация выполнена, оказываются применимы все методы, изложенные для линейных задач. Во-вторых, это собственно конструктивные приемы построения решений на экстремальных классах. Здесь основой служат итерационные методы, которые применимы и для линейных задач. Однако есть свои особенности, которые касаются, прежде всего, выбора точки, в окрестности которой линеаризация выполняется.

5.6.1. Характеристика экстремальных классов для нелинейных задач.

Рассматривая для нелинейного оператора , отображающего банахово пространство в банахово пространство ,постановку, аналогичную (33):

(5.58)

при , пробегающим все . Предполагая, что F – линейный замкнутый оператор, с ядром, не имеющим общих элементов с . производная Фреше оператора в окрестности решения задачи (58), а сам оператор регулярен в окрестности искомого решения, существование которого предполагается, легко получить в случае :

. (5.59)

Это уравнение по своей форме аналогично уравнению (41), характеризующему почти идеальный экстремальный класс для линейного оператора А. Знак «*» - как и ранее, обозначает перехода к сопряженному оператору. Уравнение (59) легко получается применением принципа Лагранжа (прил.2.6) к задаче (58). Однако оно является лишь необходимым (а не необходимым и достаточным) условием. Кроме того, процесс его получения предполагает непрерывность величины и регулярность оператора А в окрестности . Но самые большие трудности связаны не с этим. Дело в том, что искомый элемент входит не только в левую, но и в правую часть уравнений (59), что затрудняет расчет функции , поскольку она должна быть найдена из уравнения:

(5.60)

Далеко не всегда ясно, как эти уравнения решать. Для того чтобы избежать всех этих проблем, воспользуемся приемом линеаризации. Однако, несмотря на линеаризацию, решать будем все же нелинейную задачу.

Пусть требуется решить уравнение:

(5.61)

причем заранее неизвестно, имеет ли это уравнение единственное решение либо нет. Пусть задано нулевое приближение к решению - , и оператор А имеет непрерывную производную в окрестности . Если - искомое решение, то для можно записать

, (5.62)

где - некоторый элемент, вообще говоря, неизвестный, такой, что для него одно из решений уравнения (62) обладает свойством:

. (5.63)

Поскольку решение уравнения (62), вообще говоря, неединственно, то следует предположить существование многих правых частей в (62) и соответствующих элементов h таких, что (63) выполнено. Для отбора необходимого h введем, как и ранее, критерий оптимальности в форме функционала:

(5.64)

Поскольку оператор линеен1, то можно к задаче

(5.65)

применить результаты п.5.3. В соответствии с ними оператору и функционалу соответствует экстремальный класс , который при выполнении условий теоремы 2 п.5.2 для оператора F является почти идеальным.

Рассмотрим случай, когда F – линеен, замкнут, имеет ограниченный обратный, и его ядро состоит только из нуля. Тогда почти идеальный экстремальный класс имеет представление

, (5.66)

Здесь функция называемая функцией Лагранжа, должна принадлежать области определения оператора . В достаточных для приложения случаях можно считать, что

Теперь следует решать задачу:

(5.67)
Поскольку ее решение может просто не существовать, перейдем к задаче минимизации

Обобщим ее, введя линейный ограниченный оператор Ф, действующий из ImA в гильбертово пространство Х. Потребуем минимального уклонения преобразования Ф невязки – разности между наблюдаемой u и рассчитанным от искомого решения полем. Тогда получим:

(5.68)

Или:

Для нахождения минимума подставим вместо величину , где - некоторое число, а - вариация , продифференцируем последнее выражение по при и приравняем результат к нулю:

Далее:

Тогда:

(5.69)

Класс является почти идеальным для уравнения

. (5.70)

Это означает, что уравнение (60) однозначно решаемо на множестве . Предположим, что уравнение (60) однозначно разрешимо и на множестве

,

что будет, например, выполнено при:

= . (5.71)

Тогда из (69) следует:

Далее, учитывая, что для искомого решения :

имеем

(5.72)