Т.к. ряд содержит бесконечное число членов, то можно составить последовательность частичных сумм
Если сущ. Конечный предел послед-ти(S ) частичных сумм S=lim
S
, то этот предел назыв. суммой ряда, а ряд 1 назыв. сходящимся, если сущ. Предел S= a
,a
..a
=
Если предел послед-ти частичных сумм(S ) не сущ. или равен бесконечности, то говорят, что ряд суммы не имеет или явл.расходящимся.
30. Понятие числового ряда…:пусть задана посл-ть чисел a1,a2,a3,..,an,... .Выражение a1+a2+a3+...+an+…+= n (1) наз-ся числовым рядом. Числа a1,a2,a3,.. наз членами ряда. a1-1-й член ряда,a2-2-й и т.д.Член an ряда,стоящий на n-м месте,наз n-м членом ряда или общим.Если задан ряд,то можно сост посл-ть сумм: S1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3,….,Sn=a1+a2+a3+an, кот наз частичными или частными суммами.Сумма 1-х n членов ряда Sn=a1+a2+...+an наз n-й частичной суммой.Если посл-ть частичных су-м
n
им конеч предел S,т.е.
=S,то ряд наз сход-ся,а число S сумм-й ряда и пишут
n=S, в против случ ряд наз расх-ся.Числовой ряд an+1+an+2+....+an+k+...=
n+k,полу-й из ряда (1) отбрасыванием 1-х n членов,наз оста-м ряда (1) после n-го члена или n-м чл ряда.Для того,чтоб посл-ть bn б геоме-й прогресс-й,надо и ДОС-но,чтоб для люб n>1 выпо-сь рав-во b2n=bn-1bn+1.Сумма n 1-х чл прогр-и Sn=b1
,если q≠1; Sn=nb1, если q=1;S=
,если |q|<1.
31.Простей-е св-ва сходящ рядов:1. n (1) если этот ряд сход и им S,то ряд
n (2) тоже сход и им сумму (cS) 2.если ряды
n,
n сход и им соот-о S и S*,то ряд
n±bn тоже сход и им сумму S±S* 3.схо-ть(рас-ть) ряда не измен,если прибав или отброс люб конеч число членов от его начала : (3) a1+a2+a3+...+an+an+1+… (4)an+1+an+2+….Эти ряды сход или расход однов-о для люб фикси-го n. Опр: сумма ряда (4)-ост-к ряда (3) и обоз-ся Rn=an+1+an+2+… 4.сумму схо-ся ряда м пред-ть в виде суммы:частичн суммы ряда и его ост-ка. 5.если ряд (3) сход,то его ост-к после n-го члена стремит-ся к 0 (Rn
0). Нео-й приз сх-ти рядов.Т-ма:если ряд a1+a2+...+an +(1) сход-ся, то его n-й член стрем к 0 при n
,т.е.
n=0.Сле-е из т-мы:если n-й член ряда не стре-ся к 0 при n
,,т.е.
n≠0,то ряд (1) расход. Заме-е:условие
n=0 явл необ-м,но недоста-м,т.е. из выпол-я дан усл невсегда сле-т схо-ть ряда.
32.Интегр-й пр сх-ти:Т-ма:пусть дан полн ряд (1),выполн-ся усл a1 a2
….
an
….Дана непрерыв невозра-я неположит ф-я f(x),заданная для x
1,и такая,что f(n)=an. Тогда:1.если несобств интеграл
схо-ся,то сход и ряд (1) 2.если этот несобств интег-л рас-ся,то расход и ряд (1). Док-во:1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке 2. Площадь большей фигуры равна Sb=f(1)+f(2)+....+f(n-1) 3. Площадь меньшей фигуры равна Ss=f(2)+f(3)+...+f(n) 4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна Str=
5.получаем Ss
Str
Sb
Sn-a1
Sn-1 6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.
Признак сравнения для положительных рядов. Признак Даламбера и Коши.
Признак сравнения: Пусть даны 2 положительных ряда (1) и
(2)
Если для всех номеров n выполняется неравенство , то:
Из сходимости ряда 2 следует сходимость ряда 1, т.е. из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.