Анализ полученных решений

Формулы (4.70)…(4.72) однотипны и могут быть описаны одним уравнением

. (4.76)

При имеем расчет напряжений на поверхности и в центре, а при — перепада температур. После определения максимальных времен можно найти соответствующие температуры при этих числах Фурье с учетом двух членов ряда.

Подставляя в уравнение (4.60), получим температуру поверхности

, (4.77)

в (4.61) — температуру центра

, (4.78)

в соотношение (4.62) — среднемассовую

, (4.79)

и в (4.65) перепад температур

. (4.80)

Наибольшую и основную трудность при практических расчётах по уравнениям (4.56)…(4.80) представляет определение по соотношению (4.69) бесчисленного множества корней. В работе [3] приведена общая приближенная формула расчета первого корня для тел простой формы

, (4.81)

где ; -коэффициент термической массивности;

; ; — коэффициент геометрической формы, равный 1 _­ – для пластины, 2 _­ – цилиндра и 3 _­ – шара. При малых r число .

Для определения приближенных значений остальных корней следует различать два характерных случая нагрева – при больших и малых числах Био [14].

При малых числах Био (Bi < 3)

, (4.82)

где — корни уравнения (14) при , т.е. нули функции : ; ; и т.д. [14].

При больших числах Био ( )

, (4.83)

где ;

— корни уравнения (4.69) при , т.е. нули функции :

; и т.д.

Следует отметить, что при числах Био первый корень следует вычислять не по уравнению (4.81), а по (4.83).

Получим упрощенные расчетные соотношения в двух предельных случаях.

4.2.1. Асимптотика при малых числах Био.

Первый корень уравнения (4.69) вычисляем по соотношению (4.81) при и , а второй — по (4.82). Тогда отношение собственных чисел

. (4.84)

Разность квадратов корней .

Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.60) температуры поверхности

. (4.85)

По аналогии вторая и любая

, (4.86)

где — n-ый коэффициент термической массивности.

Интересно отметить, что в отличие от других амплитуд зависимость от числа Био носит немонотонный характер, возрастает от нуля до максимального значения при числе , а затем уменьшается до нуля, оставаясь меньше .

Введем отношение поверхностных амплитуд

, (4.87)

где .

При определении тепловой амплитуды воспользуемся разложением функции Бесселя при малых аргументах , где . Тогда

, (4.88)

где .

Согласно [126] вторая амплитуда

, (4.89)

где ; при больших аргументах .

, (4.90)

где .

Для среднемассовой температуры:

и . (4.91)

Для перепада температур по уравнению (4.65)

, (4.92)

.

Для термических напряжений в центре цилиндра по (4.58)

. (4.93)

.

Для термонапряжений на поверхности

, (4.94)

.

С целью проверки амплитуды можно использовать равенство .

Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.76) также упростятся.

Коэффициент поверхности

,

для перепада температур

(4.95)

и центра

Результаты расчетов при максимальных времен по формуле (4.76) и соответствующих этим временам максимальных термических напряжений на поверхности по уравнению (4.74), по (4.73) и термонапряжений в центре цилиндра по (4.75) приведены в табл. 4.1. Там же представлены данные при .

Таблица 4.1. Коэффициенты , максимальные времена , , и при и .

j	Число Био
		0,197687	0,107603	0,159055
		0,101219	0,152036	–0,306981	0,28556	0,05074	–0,96792
		0,069518	0,176974	–0,152570	0,14446	0,07837	–0,46734

Анализ уравнений (4.76) и (4.95) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.

Для оценки различия максимальных времен при составим их разности:

;

и . (4.96)

Из (4.76) и табл. 1 следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до – см. уравнение (4.105).

На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение . Наиболее просто можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.57)…(4.65) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.57) на (4.58) и учитывая упрощенные соотношения (4.93) и (4.94), получим

(4.97)

При числе .

Таким образом, в отличие от процесса нагрева плоских тел, когда при , термические напряжения на поверхности тела в 2 раза больше термонапряжений в центре, при нагреве цилиндрических тел напряжения в центральных точках тела примерно равны или чуть больше, чем на поверхности.

4.2.2. Асимптотика при больших числах Био.

Теперь корни , в том числе и первый, находим по уравнению (4.83). Тогда отношение

. (4.98)

В данном случае отношение корней совпадает с максимально возможным, которое получается в предельном случае при : .

Разность квадратов корней

. (4.99)

Амплитуды:

;

,

где .

В работе [13] было получено, что тепловая амплитуда при больших числах Био для плоских тел пропорциональна . Предполагая такую же зависимость для любых тел, получим

; (4.100)

,

где и — амплитуды при . Осуществляя в уравнении (4.89) предельный переход при , т.е. полагая в нем и , будем иметь

; .

Расчет амплитуды по уравнению (4.100) при дает с погрешностью 0,3% по сравнению с точным значением [126].

Амплитуды:

; ,

где ; .

; ; ; .

; ; ; .

_{; ; ; .}

Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:

; (4.101)

; (4.102)

. (4.103)

В предельном случае при :

; ;

(4.104)

Так как лишено физического смысла, следует взять .

Тогда наименьшие максимальные времена согласно (4.76) при будут:

,

и . (4.105)

Подставляя (4.105) в уравнение (4.58), получим максимально возможное термическое напряжение в центре цилиндра

. (4.106)

Величины , вычисленные по уравнению (4.104), времена согласно (4.105) и максимальные термические напряжения приведены в табл.4.1.

Отношение термонапряжений при .

Следует отметить, что если приближенно считать , то из уравнения (4.64) будем иметь

, (4.107)

где .

Это соотношение при и 2 полностью совпадает с формулами Н.Ю. Тайца [28] для максимальных термических напряжений

. (4.108)

Из анализа уравнения (46) вытекает, что коэффициент меняет знак по причине изменения знака амплитуды , изменяющейся от при малых числах Био до . Из условия равенства нулю можно получить граничное число выше которого имеем случаи нагрева термически «массивного» тела. Таким образом, при числах для определения времени можно применять формулу (4.70) в которой определяется по уравнению (4.101), а при коэффициент становится отрицательным и нельзя пользоваться формулой (4.70). Возникшую ситуацию можно объяснить следующим образом. Формулы (4.70)…(4.76) получены с учетом всего двух членов ряда. С ростом числа Био максимальное время уменьшается, вплоть до 0 при .

При очень малых числах Фурье расчёт температур по уравнениям (4.56)…(4.65) затруднителен из-за необходимости учета большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае для расчёта поверхностной темпе­ратуры можно использовать формулы, полученные методом операционного исчисления в работе [126]. Объединяя эти формулы в одно уравнение для простых тел, будем иметь:

, (4.109)

где ; ;

– модифицированное время, число Тихонова;

; — дополнительный интеграл вероятностей;

— функция ошибок Гаусса; ;

— фактор формы, см. уравнение (4.81).

Зная температуру поверхности и используя методику [13], можно найти среднемассовую температуру

(4.110)

где .

При числах для шара или для цилиндра коэффициент и в расчетных соотношениях (4.109) и (4.110) следует раскрывать неопределенность типа . Используя разложение функции при малых аргументах, из уравнения (4.109) получим для температуры на поверхности:

(4.111)

и для среднемассовой из (4.110)

, (4.112)

где и для шара и и — для длинного цилиндра.

Таким образом, при малых временах процесса ( ) вместо уравнения (4.60) будет (4.109), вместо (4.62)…(4.110), а температуру в центре тела на начальной стадии нагрева приближенно можно принять .

С учетом сказанного уравнение (4.57) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид

. (4.113)

При , после раскрытия неопределенности с помощью (56), получим

. (4.114)

Дифференцируя уравнение (4.113) по времени и приравнивая производную нулю с учетом разложений можно получить формулу, анало-гично (4.70), для расчета времени наступления максимального термического напряжения на поверхности. Ввиду сложности (4.113) и необходимости в дальнейшем решать трансцендентные уравнения, покажем ход расчета на более простом уравнении (4.114). Из соотношения получим квадратное уравнение, решение которого имеет вид:

, (4.115)

где ; ; .

Расчет для цилиндра при и =1/2 дает , что хорошо согласуется с ранее полученной при по (4.70) величиной 0,1076 (см. табл. 4.1).

Иногда требуется определить расположение координаты нейтрального слоя в котором термические напряжения меняют знак с на , т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее просто это можно сделать в стадии РРН. Тогда согласно уравнению (1) или . Разрешая последнее выражение относительно , с помощью разложения функции — см. уравнение (4.88), получим при малых числах Био

. (4.116)

и при больших числах Био

. (4.117)

Таким образом, поскольку нейтральные слои расположены ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах — от 0,63 до 0,71.

Следует отметить, что при нагреве абсолютные, т.е. размерные термические напряжения поменяют знаки за счет отрицательности из-за .

В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева цилиндрических тел, так и их охлаждение.