Система с ненагруженным резервом

Рис. 7. Схема надежности невосстанавливаемой резервированной

системы с дробной кратностью с ненагруженным резервом

Элементы 1 - 4 системы являются основными, элементы 5 –6 находятся в холодном резерве. При отказе основного элемента он заменяется на резервный; если исправных резервных элементов не остается, система выходит из строя.

0 1 2 3

Рис. 8. Граф состояний системы

Найдем критерии надежности системы методом дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система принимает вид:

Решаем полученную систему уравнений:

После применения обратного преобразования Лапласа:

Вероятность безотказной работы системы равна:

P_сист=1-P₃(t)=

Среднее время безотказной работы:

Найдем критерии надежности данной системы методом интегральных уравнений.

Рассмотрим события, которые могут произойти с системой на отрезке времени t:

1.Цепь отработала успешно все время t с интенсивностью отказов 4λ.Ни один из элементов не отказал.

Вероятность успешной работы:

2. Цепь отработала без отказа время τ с интенсивностью 4λ, после чего продолжала работать оставшееся время t-τ без отказа с интенсивностью отказов 4λ.

Вероятность отказа системы во время τ:

4

Вероятность успешной работы системы уже из 2 элементов оставшееся время:

P₁(t-τ)=

Вероятность успешной работы:

3. Цепь отработала без отказа время τ с интенсивностью отказов 4λ, после чего продолжала работать время τ₁-τ без отказа с интенсивностью отказов 4λ.В момент времени τ₁ система отказывает повторно и работает оставшееся время t- τ₁ без отказов с интенсивностью отказов 4λ.

Вероятность отказа системы во время τ₁:

Вероятность успешной работы системы уже из 1 элемента оставшееся время:

P₂(t-τ1)=

Вероятность успешной работы:

Вероятность успешной работы системы в целом:

P(t)=P₀(t)+P₁₀(t)+P₂₀(t)=

В результате мы получили те же результаты что и методом дифференциальных уравнений.

Произведем расчет критериев надежности системы по полученным формулам.

Для заданных значений t = 8760 ч и = 8∙10^-5 1/ч

P_сист = 0,46869123

mt (λ=8∙10^-5) = 9,375*10³ ч.

Невосстанавливаемая система без резервирования

Расчетно-логическая схема:

Рис. 9. Невосстанавливаемая система без резервирования