Определение дисперсии и среднеквадратичного отклонения

АННОТАЦИЯ

Кайгородов Н.В. Контрольная работа по дисциплине «Программные средства, физико-математические и вероятностно-статистические методы при решении конструкторско-технологических задач». –Челябинск: ЮУрГУ, МТ; 2014г.-

библиографический список- 1 наим., 17 листов А4.

В контрольной работе представлены задачи в которых нужно обработать результаты измерений твердости заготовок после закалки, определить дисперсии и среднеквадратичное отклонение. В следующих задачах построить контрольную карту индивидуальных значений и карту медиан. Задачи решены средствами математического пакета MathCAD и оформлены в MS Word. Вычисления произведены по формулам, с учетом возможностей MathCAD 15, которые обеспечили правильное решение данных задач.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Введение 2

2 Построение таблицы относительных частот 3

3 Определение дисперсии и среднеквадратичного отклонения. 10

4Два измеримых признака, их имперические распределения. 15

5 Контрольная карта 17

6 Карта медиан 18

7 Заключение 21

8 Библиографический список 22

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ

Это выборка значений измерения твердости заготовок после закалки ТВЧ по HRC.

Для определения статистических характеристик выборки необходимо построить первичную таблицу распределения. Для этого в выборке находятся минимум и максимум значения, и они упорядочиваются по возрастанию.

Min – 87, max – 98;

92 – срединное значение упорядочения выборки – «медиана».

91 – наиболее часто встречающееся значение выборки – «мода».

Разница между min и max – «размах» выборки.

R = X max – X min

Для определения закономерности распределения случайной величины используют группирование. Количество интервалов группирования определяется по зависимости.

K ≤ 5lgn, где n – объем значений; K ≤ 5lg 150 ≈ 11

Шаг интервала (h) определяется по зависимости:

Штрих-диаграмма отражает закон распределения случайной величины.

Границы интервалов необходимо задавать таким образом, чтобы значения выборки не попадало в крайние точки интервала.

Шаг, h возьмем 2,5

п/п номер	Интервал	Штрих-диаграмма	fл	fk/n
	86,5…89			6,67	6,67
	89…91,5			24,67	31,34
	91,5…94				63,34
	94…96,5			31,33	94,67
	96,5…99			5,33

fk/n = = x 100% = 6,67 fk/n = = x 100% = 24,67

fk/n = = x 100% = 32 fk/n = = x 100% = 31,33

fk/n = = x 100% = 5,33

л + fk/n = 6,67 + 24,67 = 31,34

31,34 + 32 = 63,34

63,34 + 31,33 = 94,67

94,67 + 5,33 = 100.

f л – частота;

f k/n – относительная частота;

- накопительная частота.

В зависимости от количества интервала и значения шага изменяются характеристики средних чисел и разброса.

На основе данных в таблице строится графическое значение выборки – гистограмма и полигон.

Шаг, h возьмем 3

п/п номер	Интервал	Штрих-диаграмма	fл	fk/n
	86,5…89,5			6,67	6,67
	89,5…92,5			38,67	45,34
	92,5…95,5			41,33	86,67
	95,5…98,5			13,33

fk/n = = x 100% = 6,67 fk/n = = x 100% = 38,67

fk/n = = x 100% = 41,33 fk/n = = x 100% = 13,33

л + fk/n = 6,67 + 38,67 = 45,34

45,34 + 41,33 = 86,67

86,67+ 13,33 = 100

Шаг, h возьмем 4

п/п номер	Интервал	Штрих-диаграмма	fл	fk/n
	86,5…90,5			11,33	11,33
	90,5…94,5				77,33
	94,5…98,5			22,67

fk/n = = x 100% = 11,33 fk/n = = x 100% = 66

fk/n = = x 100% = 22,67

л + fk/n = 11,33 + 66 = 77,33

77,33 +22,67 =100

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ.

Это две характеристики разброса случайной величины, характеризуют рассеивание значений выборки относительно математического ожидания.

Империческая дисперсия для объема выборки n определяется:

, где

– числа выборки.

- среднее значение выборки = 92,79

Сумма всех чисел выборки = 13919

					13919 /150 = 92,79

Пример: (94 – 92,79)² = 1,4641

1,4641	3,2041	3,2041	0,0441	3,2041	10,3041
0,0441	0,6241	4,8841	14,3641	14,3641	0,0441
4,8841	3,2041	0,6241	7,7841	3,2041	22,9441
3,2041	3,2041	0,6241	1,4641	1,4641	0,6241
10,3041	3,2041	4,8841	17,7241	1,4641	4,8841
3,2041	0,0441	3,2041	10,3041	0,6241	10,3041
0,0441	1,4641	4,8841	17,7241	1,4641	0,0441
27,1441	1,4641	0,6241	0,0441	0,6241	22,9441
0,0441	4,8841	0,6241	1,4641	1,4641	0,6241
10,3041	0,0441	4,8841	0,6241	7,7841	4,8841
3,2041	7,7841	7,7841	10,3041	0,0441	17,7241
0,0441	10,3041	1,4641	17,7241	0,0441	1,4641
27,1441	33,5241	3,2041	0,0441	0,0441	0,6241
0,0441	3,2041	22,9441	1,4641	0,6241	14,3641
10,3041	0,6241	22,9441	0,6241	3,2041	1,4641
3,2041	7,7841	0,0441	0,0441	0,0441	10,3041
4,8841	10,3041	4,8841	17,7241	0,0441	0,0441
1,4641	33,5241	3,2041	0,0441	0,0441	0,6241
1,4641	3,2041	1,4641	1,4641	0,6241	3,2041
0,0441	0,6241	4,8841	3,2041	3,2041	0,6241
3,2041	4,8841	0,0441	3,2041	7,7841	10,3041
0,6241	3,2041	4,8841	14,3641	0,0441	0,0441
3,2041	7,7841	3,2041	3,2041	3,2041	0,6241
3,2041	10,3041	1,4641	1,4641	0,0441	3,2041
3,2041	17,7241	4,8841	1,4641	1,4641	0,6241

Складываем все полученные значения и получаем = 764,595

= = 5,131

Среднеквадратичное отклонение :

= = 2,26

Для интервальных таблиц при нахождении дисперсии и среднеквадратичного отклонения используют мультипликативный метод (метод вспомогательного среднего).

1. ;

2. ( Q - );

3. ;

4. Q = , где

- середина интервала;

− шаг интервала;

- вспомогательное среднее;

- частота.

h= 3

п/п №	Интервал
	86,5…89,5			-1	-10
	89,5…92,5	91
	92,5…95,5
	95,5…98,5

= -1 = 0

= = 1 = = 2

= 10 * (-1) = -10 = 62 * 1 = 62

= -1 * (-10) = 10 = 1 * 62 = 62

P = = 92 Q = = 152

(Q - ) = (152 - ) = 5,734

2,39

h= 2,5

п/п номер	Интервал
	86,5…89	87,75		- 2,2	- 22	48,4
	89…91,5	90,25		- 1	- 37
	91,5…94	92,75
	94…96,5	95,25
	96,5…99	97,75

= - 2,2 = - 1

P = = 4 Q = = 164,4

= (164,4 – ) = 6,736

2,59

h = 4

п/п номер	Интервал
	86,5…90,5	88,5		-1	-17
	90,5…94,5	92,5
	94,5…98,5	96,5

= = 0

P = = 17 Q = = 51

= (51 - ) = 5,269

2,29

Без группирования	d
2,5
	5,131	5,734	6,736	5,251
	2,29	2,39	2,59	2,29