Методические указания и задания на контрольные работы № 4, 5, 6
Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из программы по математике для соответствующей специальности, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной работе №4 решает задачи 15.1.7, 15.2.77, 16.1.7, 16.1.27; в контрольной работе №5 – 11.2.17, 11.3.17, 11.3.17, 10.1.47, 15.3.47; в контрольной работе №6 – 17.2.7, 17.2.37, 17.2.47, 17.3.17, 19.1.17, 19.3.7.
Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов математических дисциплин, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе по математике для своей специальности (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.
В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Дифференциальные уравнения. Теория функций
Комплексного переменного.
15.1.1 – 15.1.10. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.Сделать проверку.
15.1.1. 
; 15.1.2. 
;
15.1.3. 
; 15.1.4. 
;
15.1.5. 
; 15.1.6. 
;
15.1.7. 
; 15.1.8. 
;
15.1.9. 
; 15.1.10. 
.
15.2.71–15.2.80.Указать видчастного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
15.2.71. 
; 15.2.72. 
;
15.2.73. 
; 15.2.74. 
;
15.2.75. 
; 15.2.76. 
;
15.2.77. 
; 15.2.78. 
;
15.2.79. 
; 15.2.80. 
.
16.1.1–16.1.10.Найти значения функции ω = f(z) при а) z = z1, б) z = z2.
16.1.1. ω = z2 + z, а) z = 1 + i, б) z = 2 – i;
16.1.2. ω = z2 + z, а) z = i, б) z = –1;
16.1.3. ω = z2 + 5z, a) z = 1 – i, б) z = 2 + i;
16.1.4. ω = z2 – z, a) z = 1+ i, б) z = z – i;
16.1.5. ω = z2 – 2z, a) z = 1 + 2i, б) z = 3 – i;
16.1.6. ω = 2z2 + 3z, a) z = 1 – 2i, б) z = 1 + 2i;
16.1.7. ω = 2z2 + 3, a) z = 1 + i, б) z = – 2 + i;
16.1.8. ω = 3z2 – 1, a) z = 2i, б) z = 3 – i;
16.1.9. ω = 2z2 – 2, a) z = –2i, б) z = 3 + i;
16.1.10. ω = 2z2 – 1, a) z = – 2 + 2i, б) z = 3 + 2i.
16.1.21–16.1.30.Выясните, в каких точках 
комплексной плоскости дифференцируема указанная функция. Чему равна производная в каждой из этих точек?
16.1.21. 
; 16.1.22. 
;
16.1.23. 
; 16.1.24. 
;
16.1.25. 
; 16.1.26. 
;
16.1.27. 
; 16.1.28. 
;
16.1.29. 
; 16.1.30. 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Ряды. Ряды Фурье. Элементы теории поля.
Операционный метод.
11.2.11–11.2.20.Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.
11.2.11. 
11.2.12. 
11.2.13. 
11.2.14. 
11.2.15. 
11.2.16. 
11.2.17. 
11.2.18. 
11.2.19. 
11.2.20. 
11.3.11–11.3.20.Определить область сходимости степенных рядов.
11.3.11. 
. 11.3.12. 
.
11.3.13. 
. 11.3.14. 
.
11.3.15. 
. 11.3.16. 
.
11.3.17. 
. 11.3.18. 
.
11.3.19. 
. 11.3.20. 
.
11.3.41–11.3.50.Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.
11.3.41. f(x) = x +1 в интервале 
.
11.3.42. f(x) = x 
+1 в интервале 
.
11.3.43. f(x) = 
в интервале .
11.3.44. f(x) = 
+1 в интервале 
.
11.3.45. f(x) = 
в интервале .
11.3.46. f(x) = 
в интервале 
.
11.3.47. f(x) = 
в интервале .
11.3.48. f(x) = x –2 в интервале .
11.3.49. f(x) = x +1 в интервале .
11.3.50. f(x) = 
в интервале .
10.3.1–10.3.10.Проверить, является ли векторное поле 
соленоидальным и потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U.
10.3.1. 
= (yz – xy)
+ (xz – x2/2 + yz2)
+ (xy + y2z)
.
10.3.2. = 2xy+ (x2 – 2yz)– y2 .
10.3.3. = (3x2 y – y3)+ (x3 – 3xy2) .
10.3.4. = (y + z)+ (x + z)+ (x + y) .
10.3.5. = (yz + 1)+ xz+ xy .
10.3.6. = yz∙cos(xy)+ xz∙cos(xy)+ sin(xy) .
10.3.7. = (12x – yz)+ (12y – xz)+ (12z – xy) .
10.3.8. = (x + 2yz)+ (y + 2xz)+ (z + 2xy) .
10.3.9. = (3x + yz)+ (3y + xz)+ (3z + xy) .
10.3.10. = (8x – 7yz)+ (8y – 7xz)+ (8z – 7xy) .
15.3.41–15.3.50.Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения 
15.3.41. y′′ ‒ y′ = tet , y(0) = 1, y′(0) = 0.
15.3.42. y′′ ‒ 9y = e-2t , y(0) = 0, y′(0) = 1.
15.3.43. y′′ + 9y = cos 3t, y(0) = 0, y′(0) = 1.
15.3.44. y′′ + 2y′ ‒ 3y = et, y(0) = 0, y′(0) = 0.
15.3.45. y′′ + 3y′ + 2y = t2 + t, y(0) = 0, y′(0) = 1.
15.3.46. y′′ + 2y′ + y = cos t, y(0) = 1, y′(0) = 0.
15.3.47. y′′ + 4y = e-t, y(0) = 0, y′(0) = 0.
15.3.48. y′′ + 5y′ ‒ 6y = et, y(0) = ‒ 1, y′ (0) = 0.
15.3.49. y′′ ‒ 4y′ + 4y = 1, y(0) = 0, y′ (0) = ‒ 1.
15.3.50. y′′ + y′ ‒ 2y = sin t, y(0) = 0, y′ (0) = 0.