Случайные погрешности прямых измерений

Прямые измерения одной и той же величины дают после многократных повторений процесса измерения совокупность случайных величин, состоящую из конечного число элементов (n → ∞) а₁, а₂, ......, a_n.

Истинное значение измеряемой величины никогда неизвестно. Обозначим его через а(без индекса). Тогда истинная абсолютная погрешность любого i - того измерения равна

Δаi = |аср - ai|.

(1)

Для серии n измерений получим

Δа1 = |аср – a1|, Δа2 = |аср – a2|, ………………. Δаn = |аср – an|.

(2)

cовокупность абсолютных погрешностей Δа_i, содержащая n - ное число элементов (n не ∞). Величины Δа_i могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Следует отметить, что для совокупности абсолютных погрешно­стей выполняются два утверждения:

1) при большем числе измерений случайные погрешности одина­кового значения, но разного знака встречаются одинаково часто.

2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления погрешности уменьшается с ростом значения погрешности.

Очевидно, что обе совокупности - результаты серии прямых измерений величины а_i и совокупность абсолютных погрешностей Δа_i описываются нормальным распределением Гаусса для конечного, но достаточно большого числа n измерений. Для совокупности n случайных измерений а_i величины а, среднее равно истинному значению величины а. Для распределения абсолютных погрешностей это среднее равно нулю. Покажем это:

a1 = а - Δa1 а2 = а - Δа2 …………………. аn = а - Δаn.

(3)

Суммируя левую и правую части равенств, получим

(4)

Если обозначить среднеарифметическую величину

то

(5)

При n достаточно большом

(6)

При ограниченном числе измерений теория вероятностей даёт вместо теоретических, величии Δа_i и σ конкретные «измеренные» величины абсолютной ошибки Δа серии измерений при заданной надежности α и дисперсии σ.

Обычно в эксперименте производится небольшое число измерений (n ≤ 20) и распределение Гаусса становится несправедливым. Для оценки границ доверительного интервала в этом случае вводится новый коэффициент t_α,n. Этот коэффициент был предложен в 1908 году английским математиком B.C. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом "Стьюдент" - студент. Задавая надежность α по таблицам Стьюдента, определим коэффициент t_α,n, который необходим для вычисления абсолютной погрешности Δа серии измерений. Коэффициенты Стьюдента t_α больше единицы, это значит, что доверительный интервал увеличивается в несколько раз, чтобы при малом числе измерений получить требуемую надёжность результата. Распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса и t_α → 1 при n → ∞.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного интервала выбрана так называемая средняя квадратичная погрешность результата измерений:

(7)

Было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

(8)

где t_a,n - некоторое, зависящее от a и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость t_a,n от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше t_a,n.