Математическая сторона задачи

Подставим выражение (9.2) в формулу (9.3):

аполученное выражение (9.4) – в формулу (9.1):

Так как в выражении (9.5) величины G и в соответствии с принятыми

гипотезами, остаются постоянными по данному сечению, то их можно вынести за знак интеграла:

Величина

называется полярным моментом инерции и является геометрической характеристикой данного сечения (см. лекцию № 2).

Таким образом, окончательно можем записать

или, подставляя (9.4) в (9.6),

Величина касательных напряжений при крученииопределяется следующим образом:

Как видим, касательные напряжения распределены по сечению вала по линейному закону и достигают максимальной величины на поверхности вала

полярный момент сопротивления.

Из формулы (9.6) легко найти и другие величины, характеризующие деформацию вала при кручении.

Величина

называется относительным (погонным) углом закручивания и имеет размерность рад/м.

Используя выражение (9.6), найдем формулу для определения относительного угла закручивания:

Зная формулы (9.7) и (9.8) для определения относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла поворота двух сечений, расположенных на расстоянии l друг от друга:

Если в пределах участка длиной l крутящий момент и геометрические характеристики сечения вала остаются постоянными, то угол закручивания можно определить как

9.3. Напряженное состояние и виды разрушения при кручении

Исследуем напряженное состояние при кручении.

По закону парности касательных напряжений в диаметральных сечениях вала возникают такие же касательные напряжения, как и в поперечном сечении. При этом все остальные напряжения равны нулю, то есть при кручении возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг.

Как было показано в лекции № 8, главные нормальные напряжения σ1 и σ3 при чистом сдвиге противоположны по знаку, одинаковы по величине и в наиболее опасных точках (на поверхности вала) равны τmax:

Кроме того известно, что главные напряжения при чистом сдвиге действуют по линии (для цилиндрического образца – по винтовой линии), наклоненной к оси вала под углом 45о.

Именно по этой линии, как показывают эксперименты, будут разрушаться хрупкие материалы (например, чугун), которые плохо сопротивляются растягивающим напряжениям. Материалы, плохо сопротивляющиеся действию касательных напряжений, будут разрушаться в плоскостях действия наибольших касательных напряжений: например, в случае кручения деревянных валов с продольным расположением волокон трещины разрушения ориентированы вдоль образующей, а стальные валы в пластическом состоянии на практике часто разрушаются по поперечному сечению, перпендикулярному к оси вала.

9.4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет – определить размеры вала из условия его прочности;

в) расчет по несущей способности – определить максимально допустимый крутящий момент.

При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого материала допускаемое напряжение [τ]=[σ]/2;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

Для сплошного круглого сечения отсюда можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость по формуле

здесь [θ] – допустимый относительный угол закручивания вала.

Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры вала из условия жесткости:

Учитывая, что для сплошного круглого сечения можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:

Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости.