Экстремальные классы для распределенияплотности

Запись (1) оператора прямой задачи гравиметрии для распределения плотности не учитывает два важных с прикладной точки зрения обстоятельства. Во-первых, реально гравитационное поле задано на некоторой поверхности, а во-вторых, оно задано в дискретном, и более того, конечном наборе точек этого рельефа. Поэтому соотношение (1) должно быть обобщено соотношением:

, (7.18)

записываемом в той же самой операторной форме:

Здесь функция ассоциируется с описанием рельефа, на котором задано поле Правая часть в (18) определена, либо для всех либо для некоторого множества точек Г из

Для того чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что в конкретной выкладке следует особо учитывать рельеф и способ задания поля, для (18) будем использовать запись

. (7.19)

Причем в (18) правая часть это еще не наблюдаемая, несмотря на то, что учтено и влияние рельефа, и конечность точек наблюдения. Неучтенными остаются множество факторов, таких как влияние масс вне области , несовпадение вертикальной и нормальной производных и многое другое, требующее уточнения и операций редуцирования наблюдаемой к идеализированному соотношению (18). Легко увидеть, что если , является однозначной функцией и область целиком лежит в , то

.

Тогда, из теоремы 1, приведенной в 7.1 следует, что , определенный соотношением (18) ограниченный оператор из в для всех если ограничена, и для , если неограниченна. Обобщенным выражением для сопряженного к оператора будет:

(7.20)

где есть мера на области задания Если задано для всех то и (20) трансформируется к аналогу (9):

. (7.20-a)

Если задано в конечном множестве точек из , то есть атомическая мера на , и (20) примет вид:

(7.20-b)

где - точки, в которых задано .

Это следует из цепочки равенств, повторяющих с небольшими дополнениями (10):

Все эти соотношения объединяем записью (20).

Сопряженные операторы участвуют в конструкции идеальных и почти идеальных экстремальных классов (см. гл.5), доставляющих согласованную со способом задания поля конструкцию, на которых решение обратной задачи существует (существует с любой наперед заданной точностью для почти идеальных классов), единственно и осмысленно с точки зрения оптимальности уклонения от заданного элемента. Последнее обеспечивает содержательное и конструктивное применение метода минимальных корректив. Имея выражение для оператора , сопряженного к , легко получить выражение для почти идеальных экстремальных классов, введенных в 5.3. Напомним, что если оператор - линеен, имеет ограниченный обратный, и , то идеальный экстремальный класс в пространстве имеет вид:

. (7.21)

Каждый элемент из ядра оператора (1) одновременно является и элементом ядра оператора (18). Это очевидное утверждение. Действительно, если распределение плотности таково, что гравитационное поле от него тождественно равно нулю всюду на , и, как следствие, (в силу интеграла Пуассона) всюду в , то тем более оно равно нулю на любом конечном множестве точек из и любой поверхности в . ( , где обозначает (18) в отличие от (1). Но, переходя к ортогональным дополнениям, которые связаны со значениями сопряженных операторов, тут же получаем

.

Но это означает, что область значений сопряженного к оператора включает в себя все элементы из и, следовательно, экстремальные классы можно рассматривать одновременно как и элементы из . Изучения свойств экстремальных классов, и, как следствие, свойств решений обратной задачи позволяет в дальнейших рассмотрениях обращаться в основном к случаю . Будем рассматривать поле заданным, либо всюду на , либо в конечном множестве точек Г из . Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство и, учитывая, что вид оператора прямой задачи фиксирован, для соответствующих экстремальных классов будем использовать обозначение , либо , а плотные в них подмножества, образующие почтиидеальные экстремальные классы, обозначаются и соответственно. Тогда:

; (7.22)

. (7.23)

Оператор проектирования на область в выражениях (22,23) и им аналогичных можно опускать, в связи с тем очевидным обстоятельством, что изучаемые плотностные распределения рассматриваются только в пределах области . Далее в силу того, что множество конечномерно и замыкание в конечномерном линейном пространстве совпадает с исходным пространством то .

Далее примем, что если вместо символа , либо в выражении для экстремального класса, либо в другом предложении, где участвуют множества или , стоит символ “*”, то формулируемое предложение в равной мере относится, как к случаю поля, заданного всюду в , так и к случаю, когда поле задано на множестве .

Определение 1. (либо ) – эквивалентным перераспределениемраспределения плотности (*-эквивалентным) называется преобразование, оставляющее неизменным значение оператора . В частности, неизменным для всех (либо ).

Операции * - эквивалентного перераспределения можно дать определение с использованием операторной символики. Действительно, если обозначить (в соответствии с общими обозначениями из (3.2)) класс эквивалентности для элемента , совпадающий с классом смежности , введенным в разделе 7.1, то оператор *- эквивалентного перераспределения определен условием:

есть оператор, в частности, оператор проектирования в норме пространства , отображающий произвольное распределение плотности в элемент из своего класса эквивалентности.

В процедурах эквивалентного перераспределения важную роль играет различие между – эквивалентным перераспределением. Поэтому для класса эквивалентности введем уточняющее это обстоятельство обозначение и обозначение для соответствующей операции , либо эквивалентного перераспределения.

Для операции эквивалентного перераспределенияиспользовано то же символическое обозначение, что и для операции проектирования. Это связано с тем, что любой оператор проектирования на класс эквивалентности, по определению является эквивалентным перераспределением. Поэтому роль индекса в его определении играет вид нормы в соответствующем банаховом пространстве, в котором это проектирование осуществляется.

Простейшей операцией эквивалентного перераспределения является добавление к распределению плотности элемента из ядра оператора . (Ядра операторов , в которых поле определено для , либо для нетождественны). Другой, тривиальный пример эквивалентного перераспределения – тождественный оператор.

Прикладной смысл оператора эквивалентного перераспределения состоит в том, чтобы получить другое, эквивалентное по полю, но отличающееся по своим свойствам распределение. Например, в качестве такого свойства может выступать условие оптимальности вновь получаемого распределения. В этом случае необходимо иметь процедуру эквивалентного перераспределения, обеспечивающую принадлежность нового распределения плотности заданному экстремальному классу.

Теорема 6. Пусть - линейный, взаимнооднозначный и взаимнонепрерывный оператор из в . Тогда оператор

. (7.24)

является оператором - эквивалентногоперераспределения на экстремальный класс .

Доказательство. Обозначим - образ при отображении (это замкнутое подпространство в ). Тогда для имеем:

где Или:

Но:

Откуда:

или, в силу теоремы о ядре:

что и доказывает требуемое.

Если - сходящаяся минимизирующая последовательность:

где - монотонно возрастающая, непрерывная функция, то, в силу непрерывности оператора , имеем:

Следовательно, для любого можно выбрать число и соответствующий элемент из последовательности такой, что для всех

Описанную процедуру численной минимизации можно рассматривать как процедуру - эквивалентного перераспределения (т.е. эквивалентного с точностью ).

Охарактеризуем теперь некоторые экстремальные классы.

Рассмотрим экстремальные классы, связанные с оператором Лапласа

.

Этот оператор весьма распространен в задачах математической физики и возникает не только как оператор уравнения:

,

которому удовлетворяют гармонические функции, но фактически во многих других уравнениях, в том числе и эволюционных, связанных с пространственным распределением некоторого параметра. Связано это с особым свойством симметрии для гармонических функций, которое проявляется в виде так называемой теореме о среднем. Ее суть состоит в том, что среднее значение по окружности или кругу соответствующей размерности (сфере, шару) для гармонической функции равно в точности ее значению в центре круга (шара). Их «веса» равны – среда в состоянии равновесия. Если оператор Лапласа от некоторой функции больше нуля, то среднее значение «перевешивает» значение в центре – больше его. Если значение оператора Лапласа от функции наоборот – меньше нуля, то среднее значение перевешивается значением в центре – оказывается «легче», чем значения в центре. Гармонические функции занимают особое место в математической физике. Точно также особое место в формулировках теорем единственности занимают экстремальные классы , элементами которых служат гармонические функции.

Поскольку ядром оператора Лапласа являются гармонические области функции, которые, как уже указывалось, ортогональны ядру оператора прямой задачи, имеем: Далее - замкнутый оператор.

Легко видеть, что Действительно[30], функционал:

имеет минимум при откуда следует, что - гармоническая функция. Но состоит из гармонических функций и является идеальным классом. Отсюда следует, что для каждого имеется решение задачи:

такое, что и, следовательно,

Легко получить из (21) выражение для почти идеальных экстремальных классов в пространстве через выражения для . Действительно, пользуясь (21) и подставляя (22) получаем для элементов из характеристику:

Рассмотрим далее, как выглядят экстремальные классы в Соболевских пространствах. С физической точки зрения эти рассмотрения эквивалентны решению вопроса о целесообразности введения в критерий оптимальности информации о гладкости искомого решения ОЗГ. Точнее, о целесообразности минимизации не только уклонения искомого решения от принятого нулевого приближения (которое, в частности, может быть и нулем), но и производных этого уклонения.

Теорема 7. Пусть - замкнутая ограниченная область. Тогда есть почти идеальное множество в

Докажем предварительно следующий результат.

Лемма. плотно в в метрике .

Доказательство леммы. Пространство разлагается в сумму взаимноортогональных подпространств: Кроме того, плотно в . Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда в существует элемент , и ни одна последовательность не сходится к Но, поскольку сходящаяся последовательность из к все же существует, то можно считать, что эта последовательность из . Таким образом, получили последовательность из , сходящуюся к элементу из , что невозможно в силу взаимной ортогональности этих пространств.

Доказательство теоремы. То, что - почти идеальное множество, было доказано ранее. Необходимо показать включение:

Рассмотрим задачу:

(7.25.)

Для ее решения имеем необходимые и достаточные условия (см. прил.2.6):

что в содержательных обозначениях приводит к:

[31] . (7.26)

В соответствии с доказанной леммой условие , участвующее в характеризации оптимального элемента, было заменено на: . Интегрируя (26) по частям:

.

По теореме о ядре:

(7.27)

Таким образом, уравнение (27) характеризует класс . Но если то и все производные любого порядка от этого распределения плотности также принадлежат этому множеству. Действительно, все производные гармонической функции – снова гармонические функции. Таким образом, множества распределений плотности удовлетворяют (27) и, следовательно, являются решениями задачи (25). Требуемое включение доказано.

Из приведенного рассмотрения следует, что введение в критерий оптимальности дополнительных требований минимизации производных уклонения искомого решения от принятого нулевого приближения, не приводит к появлению в решении новых свойств и, следовательно, является излишним.

Рассмотрим вопрос о том, какие условия обеспечивают минимальность уклонения искомого решения от нуля в метрике

Теорема 8. Знакопостоянные элементы из принадлежат

Доказательство. Прежде всего, ясно, что два знакопостоянных элемента из имеют одинаковую величину нормы в . Это следует из того, что для знакопостоянных элементов величина:

с точностью до знака равна массе искомого распределения плотности и есть инвариант для . Теперь покажем, что знакопостоянный элемент из имеет меньшую величину нормы в чем знакопеременный . Действительно, поскольку , , то их массы равны, и:

Здесь:

Теорема доказана.

Знакопостоянные элементы образуют экстремальный класс однако этот класс не является классом единственности. Рассмотрим эти вопросы подробней

С этой целью рассмотрим задачу:

(7.28)

решение которой существует в силу замкнутости в метрике

Пусть область будучи заполнена массами постоянной плотности создает вертикальную производную гравитационного потенциала Тогда для любого иного распределения плотности

Действительно, если и - эквивалентны, то равны и их суммарные массы, а это означает, что

Следовательно, - знакопеременно, и существуют как точка где так и точка где Но тогда:

Приведенным частным случаем исчерпываются ситуации, когда решение задачи (14) единственно. В частности, справедлив такой результат.

Если не содержит элемента то множество решений задачи (28) замкнуто, выпукло и содержит более одного элемента.

Замкнутость и выпуклость следуют из ограниченности и линейности оператора (1). Что касается существования более чем одного решения, если есть решение (28) отличное от то это следует из существования распределений плотности с как угодно малым носителем и как угодно малыми значениями, гравитационное поле от которых тождественно равно нулю. Такие примеры доставляют, в частности, вложенные шары равной, но противоположной как угодно малой массы, с плотностью непрерывно радиально меняющейся от центра к границе. К переменному - исходному решению задачи (28) всегда можно добавить такое финитное распределение, не изменив минимального значения его верхней грани. Выполнить это можно многими способами (в разных подобластях) и тем самым, исходя из заданного, будут построены новые и новые решения задачи (28). Важно, чтобы была хотя бы одна нетождественная константа – функция координат.

Обратим внимание на то, что, как следует из приведенных выше рассмотрений, объект, занимающий область и имеющий постоянную плотность минимально уклоняется от нуля во всех нормах в своем классе эквивалентности.

Рассмотрим теперь классырешений обратной задачи гравиметрии, наименее уклоняющихся от нуля в равномерной метрике. Точнее, в соответствии с принятыми обозначениями – классы Примем в качестве области уже использованную ранее горизонтальную полосу: а в качестве оператора - оператор свертки по горизонтальным координатам с функцией аналитические свойства которой будут уточняться и определяться ниже, по мере возникающей в этом необходимости. Основой является задача:

(7.29)

Замена переменных (в предположении существования оператора ) трансформирует (29) к виду:

(7.30)

Обобщенный аналог этой задачи рассматривался в п.5.4. В дальнейшем операция свертки двух функций и по горизонтальным координатам обозначается :

Введя функцию:

оператор прямой задачи в (29) перепишется:

(7.31)

Это справедливо только в том случае, если в качестве носителя масс выступает горизонтальная полоса , что и предполагается всюду далее.

Легко убедиться в том, что для любой функции

Пусть теперь оператор входящий в (29) и (30) таков, что существует функция и:

(7.32)

где: - положительна, оператор - линеен и ограничен из в а его ядро не содержит функций, не зависящих от вертикальной координаты. Кроме того, считаем, что ядро сопряженного в оператора содержит только ноль. Это значит, что множество его значений образует плотное в множество. Задача (32) полностью эквивалентна (5.46) с точностью до обозначений (там вместо участвует ). В этом случае к задаче (30) можно применить результаты из п. 5.4, в соответствии с которыми экстремальный класс состоит из распределений плотности в представимых в виде:

(7.33)

где: - независящая от вертикальной координаты функция из .

Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев. Пусть положительная и непрерывная в интервале функция. Легко убедиться в том, что если применять в качестве функций в (32) то оператор удовлетворяет требуемым свойствам. Оператор , определяющий критерий оптимальности в (29), состоит в делении распределения плотности на функцию . Экстремальный класс в этом случае состоит из распределений плотности представимых в виде функции с «разделяющимися» переменными Для определения функции имеем уравнение:

Предполагая, что применим к последнему равенству преобразование Фурье по переменным После элементарных вычислений получим:

где Напомним, что преобразование Фурье функции обозначается или Для обратного преобразования Фурье функции используется обозначение или

Для решения из получаем выражение в виде неограниченного оператора:

. (7.34)

В силу результатов п.5.3, его область определения плотна в . Решение, доставляемое соотношением (34), как уже указывалось выше, оптимально в своем классе эквивалентности относительно критерия:

(7.35)

Легко заметить, что заданием функции предопределен закон изменения плотности в вертикальном направлении. Таким образом, если известно, как меняется плотность в вертикальном направлении, и это изменение - сохраняется в пределах пласта, то такая информация выражается в критерии оптимальности (35), а решение получается по формуле (34). В частном случае, если , получаем из (34) решение В.М. Новоселицкого:

(7.36)

Наглядное представление о том, как влияет выбор функции на получаемое по формуле (21) решение, можно получить из серии рисунков 2 На них представлены эквивалентные решения, а вид соответствующей функции помещен непосредственно под рисунком.

Продолжим далее по аналогии.

Если - заданная функция трех пространственных переменных, то определим оператор так, что:

Рисунок 7.2 Эквивалентные решения

Решение обратной задачи будем искать в виде:

(7.37)

Подставляя последнее выражение в (31):

Выполняя преобразование Фурье:

, откуда получаем:

(7.38)