Векторная интерпретация задачи. Место эвристики

На практике практически отсутствуют системы, характеризуемые одним единственным параметром, который может рассматриваться в качестве критерия оптимальности. Поэтому для сравнительного анализа необходимо учитывать одновременно несколько параметров, характеризуемых разнородностью (производительность, надежность, стоимость, габариты и т.д. и т.п.) Как же произвести подобное сравнение? С этой целью используются методы многокритериальной оптимизации.

Данный класс задач предполагает сравнение вариантов решения одновременно по нескольким параметрам, где каждый n–ый вариант характеризуется m-ым числом параметров:

n, n=1,N

m, m=1,M

(q_nm, n=1,N, m=1,M – в общем случае некая функция)

Для сравнения вариантов между собой необходимо сведение задачи к однокритериальной. Существует два основных подхода, различающихся типом «свертки» параметров.

Это мультипликативная и аддитивная свертка.

_M

Фn = П q_nm – мультипликативная

^m=1

_N

Yn = ∑ q_nm - аддитивная

ⁿ⁼¹

Первый подход предполагает простое перемножение параметров между собою. Не говоря об отсутствии обоснованного физического смысла (производительность умножается на надежность) данный подход характеризуется следующим огромным недостатком – существенная зависимость агрегатирующего критерия оптимальности от отдельных локальных качеств (если умножить на 0, то результатом будет 0).

В связи с этим на практике широкое применение нашла аддитивная свертка. Для ее применения необходимо решить два вопроса:

1. Как учесть разный физический смысл (природу) различных параметров.

2. Как учесть различную относительную важность разнородных параметров.

Дадим векторную интерпретацию задачи. Рассмотрим данную задачу на плоскости:

Каждый вариант решения на плоскости образует вектор качества. В рамках данной интерпретации получаем, что вариант решения характеризуется длиной вектора качества и величиной угла с неким идеальным вектором, или длиной проекции на идеальный вектор:

|Xn|→max

→ Xno=Xn cosαno

αno→min

Т.е., в предположении, что задан некоторый идеальный вектор качества (q_n=0), лучший вариант можно определить по длине вектора и углу вектора с идеальным. Или сводя задачу к однокритериальной по длине проекции вектора качества на идеальный вектор. Ранее мы показывали, что в ортонормированном базисе данная длина определяется следующей функцией:

_{M N}

Xm = (1/√M)*∑q_nm = Yn = ∑q_nm

^{m=1 n=1}

а это ни что иное, как аддитивная свертка.

Таким образом, аддитивный критерий оптимальности может интерпретироваться как приведенная (умноженная на коэффициент 1/√M) длина проекции вектора качества варианта на идеальный вектор качества.

Возникают 2 вопроса:

1. Как задать идеальный вектор (соответственно, как нормировать параметры).

2. Как учесть относительную важность разнородных параметров.

Рассмотрим альтернативные варианты решения.