Краткие сведения об объекте моделирования

Лабораторная работа № 1

Изучение одноканальной замкнутой системы
массового обслуживания

Цель работы

Изучение одноканальной замкнутой системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным временем ожидания требований для нее и с простейшим по­током. Этот поток наиболее полно отвечает реалиям жизни и характеризуется сле­дующими особенностями:

• поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований одновременно очень мала, и поэтому ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

• вероятность поступления последующих требований в любое время не зависит от возможности их прибытия ранее – поток требований без последействия;

• поток требований стационарный.

Краткие сведения об объекте моделирования

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные ее состояния и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования системы массового обслу­живания являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n тре­бований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – . Так, вероятность характеризует состояние, когда в системе нет требований и канал обслуживания простаивает.

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания яв­ляется также среднее число требований, находящихся в системе , то есть в оче­реди на обслуживание, и средняя длина очереди . Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: число каналов обслуживания (касс, компь­ютеров, кранов, ремонтных бригад); число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), интенсивность поступления одного требования на обслуживание , то есть число поступлений требований в единицу времени; интен­сивность обслуживания требований .

Интенсивность поступления требования на обслуживание определяется как ве­личина, обратная времени возвращения требования :

.

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования – :

.

Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требова­ний, находящихся в системе:

· в системе нет ни одного требования – вероятность состояния ;

· в системе находится одно требование – вероятность состояния ;

· ……………………………………………………………………..

· в системе находится требований – вероятность состояния .

Представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа со­стояний (рис. 1.1). Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый ве­роятностью состояний , определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.

Рис. 1.1. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой системы
массового обслуживания

Первый прямоугольник с вероятностью определяет состояние системы массо­вого обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения система массового обслуживания может перейти с интенсивностью только в состояние – тогда в системе появится одно требование, так как входной поток – ординарный. С интенсивностью и. система может перейти также из состояния в состояние ; когда в системе находилось одно требование, но оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состоя­ния система массового обслуживания может перейти с интенсивностью в состояние ; тогда в системе появятся два требования. С интенсивностью сис­тема может перейти также из состояния в состояние ; когда в системе находи­лось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось но­вое, и т.д.

В начале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслу­живания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во време­ни, например в течение часа. В этом случае интенсивности, входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы:

Обозначим величину через , и назовем ее коэффициентом загрузки. Из первого уравнения можно найти значение :

.

Из второго уравнения найдем значение :

.

Но первый член – , следовательно, первый и третий сокращаются:

.

Из третьего уравнения найдем значение :

.

Но первый член – , следовательно, первый и третий сокращаются:

и т. д.;

.

Используя очевидное равенство , получим:

от = 0 до .

Зная вероятность простоя канала обслуживания , можно определить его фак­тическую производительность:

,

где G, например, количество груза, помещенного за одно обслуживание в ма­шину.

Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступ­ления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания:

,

где – среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), находящихся в системе :

.

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычис­лено так:

.

Пусть задан комплект машин «экскаватор – автосамосвалы». Экскаватор погру­жает за один рабочий цикл т грунта. Грузоподъемность автосамосвала т. Число машин, обслуживающих экскаватор, m = 5. Время рабочего цикла экскава­тора составляет = 18 с, а время обращения автосамосвала = 10 мин. Тогда время погрузки одного грузовика составит:

мин.

Интенсивность погрузки автосамосвала экскаватором составит

= 29 погрузок в час.

Интенсивность же поступления автосамосвала на погрузку составит

= 6 обращений в час.

Коэффициент будет равен = 0,207.

Вероятность простоя экскаватора в этом случае составит:

.

Таким образом, фактическая производительность данного комплекта машин будет на 27,1% ниже технической.

Вероятности наличия машин в системе:

Фактическая производительность комплекта машин:

т/час.

Среднее число машин, находящихся в системе:

.

Среднее число машин, находящихся в очереди:

.

Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслу­живания, когда основные вероятностные характеристики ее зависят от некоторого промежутка времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных веро­ятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциаль­ных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой сис­темы при неустановившемся режиме.

Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, опи­сывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемо­ническое правило:

• производная вероятности пребывания системы в состоянии равна алгебраической сумме нескольких членов;

• число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние с другими;

• если стрелка направлена в рассматриваемое состояние , то член берется со знаком «плюс»;

• если стрелка направлена из рассматриваемого состояния , то член берется со знаком «минус»;

• каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из ко­торого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 1.1) эта система обык­новенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так:

………………………………………………………….

…………………………………………………………

Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти тремя путями. Первый – предварительный расчет для различных значений коэффици­ента использования (табл. 1.1). Второй – применение какого-либо языка высо­кого уровня для решения этой задачи. Третий – использование системы Mathcad.

Табл. 1.1. Значения коэффициента использования

Коэф. загр.	Число требований, обслуживаемых системой, m
Вероятность простоя канала обслуживания,
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20	0,9232 0,8872 0,8527 0,8197 0,7881 0,7580 0,7293 0,7017 0,6757	0,8850 0,8313 0,7804 0,7321 0,6865 0,6435 0,6031 0,5652 0,5297	0,8469 0,7760 0,7092 0,6467 0,5885 0,5347 0,4851 0,4398 0,3983	0,8090 0,7212 0,6394 0,5640 0,4952 0,4331 0,3775 0,3282 0,2849	0,7712 0,6670 0,5712 0,4845 0,4075 0,3602 0,2822 0,2331 0,1918	0,7334 0,6134 0,5049 0,4090 0,3266 0,2577 0,2013 0,1561 0,1205