Контрольная работа №9
Контрольная работа № 9
Обыкновенные
дифференциальные уравнения
ТЕМА 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с.
3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.Т.2.- 2002.- 544 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задание 1.Найти общее решение дифференциальных уравнений.
а) .
Решение.Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель: , разнесем слагаемые:
; выражая
из полученного уравнения убедимся в том, что
и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные.
.
Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .
Получим ,
.
Таким образом, мы убедились в том, что - общий интеграл заданного уравнения.
Ответ: .
б) .
Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.
- Убедимся в том, что производная
в представленном уравнении зависит только от отношения
, то есть
и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.
Введем новую переменную .
;
;
; проинтегрируем выражение
;
;
;
;
- общее решение уравнения.
Ответ: .
в) .
Решение.Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены:
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
- общее решение уравнения.
Ответ: .
Задание 2.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения
и частного решения неоднородного уравнения
, которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания
.
Составим характеристическое уравнение:
.
Следовательно, общее решение однородного уравнения: .
будем искать в виде
.
- частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А.
.
. Значит
. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения
. Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:
;
;
;
Ответ: .
Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
.
Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:
и заменим
воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:
. Окончательно
.
- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:
.
Следовательно, решение: . Из первого уравнения
, поэтому
;
.
Ответ: ;
.
Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).
Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство
, но
, а
найдем из уравнения
, полагая X=0, то есть
.
Итак, приходим к однородному уравнению .
Полагая y=tx (y’=t’x+t), получим или
, откуда
– данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.
Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим
; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение
, или
.
Ответ: .
Задание 5.
а) Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .
Ответ. .
б) Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена
позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
.
;
. Учтя, что
– произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить:
.
Ответ. .
в) Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной
, откуда
, так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид:
. Решение
является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем:
. Оставшееся уравнение
является уравнением в разделяющихся переменных:
. Интегрируя последнее равенство, получим
. Выразим теперь функцию
:
. Делая вновь обратную замену
, получим:
. В данном уравнении можно разделить переменные:
. Интегрируя последнее выражение, получим
. Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.
Ответ. ;
.
Задание 6. Решить уравнение .
Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения
являются числа
, то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид
. Правая часть исходного уравнения
не позволяет найти частное решение
неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение
в виде:
, предполагая, что здесь
и
(мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а
и
решения следующей системы дифференциальных уравнений:
таким образом
.
Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим
(постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение
в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции
:
. Вновь интегрируя, запишем:
.
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения
Ответ. .
Контрольная работа №9.
Вариант 1.
1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
а) ![]() | в) ![]() |
б) ![]() | г) ![]() |
2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений .
4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в 3 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей точку А с началом координат.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .