Расчет цепей несинусоидального тока

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t) и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

1) Гармонический анализ.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций источников ЭДС e(t) и источников тока j(t) в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t) количество гармоник в их разложении определяют значительно больше, чем необходимо для расчета схемы.

2) Аналитический расчет.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конденсаторами C размыкается. Расчет схемы для отдельных гармоник производится как для цепи синусоидального тока, т.е. в комплексной форме, при этом определяются не действующие значения, а комплексные амплитуды токов и напряжений (Im, Um). Расчет для каждой гармоники выполняется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зависимость реактивных сопротивлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармоники: , . Выбор расчетного метода определяется структурой расчетной схемы.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанавливается исходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учитывать только те гармоники, для которых коэффициент , при этом относительная погрешность расчета в итоге не превысит 1%. Однако в тех случаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u(t) и i(t), то необходимо учитывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

3.Синтез решения.

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины согласно условию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i(t) и u(t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных составляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i(t) и u(t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как среднеквадратичные значения этих функций по полученным ранее формулам, например:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы активных мощностей этих элементов для отдельных гармоник.

Расчет:

Форма кривой ЭДС источника:

Схема:

Начальные условия:

Нулевая гармоника равно 0, так как функция симметричная относительно оси.

Расчет комплексных амплитудных значений токов гармоник 1-3 проводим, решая для каждой гармоники систему уравнений по законам Кирхгофа:

Ток первой ветви для гармоник 1-3:

Ток второй ветви для гармоник 1-3:

Ток третьей ветви для гармоник 1-3:

Проверим баланс мощностей:

Запишем для неразветвленного участка цепи токи всех гармоник, результирующий ток в мгновенной форме записи:

Построим на одном графике ток первой ветви от каждой гармоники в отдельности и результирующий ток:

Активная мощность цепи:

Реактивная мощность цепи:

Полная мощность цепи:

Реактивная мощность искажения:

Коэффициент мощности:

Выполним моделирование, используя Electronics Workbench: