Решение заданий типа 111-120
Теоретический справочник.
Дифференциальным уравнением I-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производную
, т.е. уравнение вида
или
.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция ,
, определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале
, которая обращает данное уравнение в тождество, т.е.
.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего при конкретном значении произвольной постоянной с, которую можно определить из условия , называемое начальным условием.
Чтобы решить дифференциальное уравнение I-го порядка, нужно определить его вид, найти его общее решение, а затем частное решение.
Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения I порядка
, удовлетворяющее начальному условию
.
Решение. Преобразуем исходное уравнение, разделив обе его части на :
или
. Затем разделим обе части уравнения на
:
. Разделив правую часть уравнения (и числитель, и знаменатель) на
, получим
однородное дифференциальное уравнение I порядка, т.к. оно имеет вид
. Сделаем замену переменной:
. Тогда исходное уравнение примет вид
или
или
. Пользуясь свойством пропорции, соберем возле дифференциалов соответствующие переменные:
и проинтегрируем полученное равенство:
. Найдем интеграл, стоящий слева:
=
=
= =
=
.
Найдем интеграл, стоящий справа: . Следовательно,
, или, возвращаясь к прежним переменным и обозначая
, получим
. Преобразуем последнее равенство, используя свойство логарифма
, и получим общее решение
. Подставив в последнее соотношение начальное условие
, найдем конкретное значение произвольной постоянной:
или
. Тогда частное решение примет вид
или
.
Ответ:
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения I порядка
, удовлетворяющее начальному условию
.
Решение. Разделим обе части уравнения на :
или
.
Данное уравнение является линейным, т.к. имеет вид
и решается заменой , где
неизвестные функции;
.
Подставляя выражения для в исходное уравнение, получим
. Сгруппируем слагаемые, содержащие функцию
:
. В качестве функции
выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению
или
. Интегрируем последнее соотношение, разделяя переменные:
или
,
,
,
. Тогда функция
определится из уравнения
. Подставляя найденную функцию
, получим
или
или
. Интегрируя последнее уравнение, найдем функцию
:
. Итак, общее решение имеет вид
или
. Подставляя начальные данные
, получаем уравнение:
откуда
. Частное решение имеет вид
.