Точное эталонное аналитическое решение системы (3) дифференциальных уравнений
Расчёт динамики разгона и торможения судна
Вариант №«Чайка»
Выполнил:
Студент ФМиАТ
Проверила:
Галина Н В
Нижний Новгород
2013г.
Содержание:
Введение.
1. Постановка задачи и ее математическая модель.
1.1. Общая задача, описания динамики разгона (торможения)
судна.
1.2. Математическая модель неустановившегося движения.
2. Методы и алгоритмы решения задачи.
2.1. Формирование функций R(V) и T(V).
2.2. Точное эталонное аналитическое решение системы (3)
дифференциальных уравнений.
3. Исходные данные.
4. Этапы выполнения работы.
5. Модельная задача №1.
6. Модельная задача №2.
7. Модельная задача №3.
8. Реализация в MathCAD
9. Общий вывод
Постановка задачи и ее математическая модель.
Общая задача, описания динамики разгона (торможения) судна.
Из курса теоретической механики известно, что в соответствии принципам Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Ньютона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат (в данном случае оси “X”), то достаточно записать уравнения движения в проекции на ось “X” и решать его относительно скорости “V” в направлении оси “X” и пройденного по этой координате пути “S”.
Математическая модель неустановившегося движения судна.
Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат “X”.
m*a = F (1)
Здесь:
m – масса тела;
а = dV/dt – ускорение тела;
F – сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось “X”.
Равнодействующая сила F складывается из двух сил:
R – сопротивление движению судна;
Т – тяга движения (как правило, гребного винта).
Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от скорости движения (чем больше скорость “V”, тем больше сопротивление R) и направлена против скорости “V”, т.е. в отрицательном направлении оси “X”. Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости судна, но действует в противоположном направлении силе сопротивления R, т.е. направлена в положительном направлении оси “X”.
С учетом сказанного, уравнение (1) можно записать в виде:
(2)
Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно скорости движения судна “V”.
Для определения пройденного за время “разгона” пути “S” к этому уравнению (2) необходимо добавить уравнение dS/dt=V, являющееся определением понятия – “скорость”. Таким образом, математической моделью задачи считается система из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в каноническом виде:
(3)
Здесь функции R(V) и T(V) являются заданными и находятся по испытаниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично.
Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные условия. Обычно они задаются в виде t=0 или V=Vn.
Методы и алгоритмы решения задачи.
Формирование функций R(V) и T(V).
В курсовой работе исходными данными являются функции R(V) и T(V), которые представлены в графическом виде. Решением данной задачи является снятие контрольных точек с графиков (R(V) - 16-20 точек и T(V) – 8-10 точек) включая первую и последнюю и заполнение таблиц исходных данных (необходимо помнить, что расчеты производятся в системе СИ).
Аппроксимация исходных данных
По сформированным таблицам этих функций необходимо:
1) выбрать класс аппроксимирующей функции (если выбран полином, то необходимо выбрать его степень исходя из вида кривой по характерным точкам, выбранным из контрольных);
2) определить коэффициенты аппроксимации;
3) рассчитать и вывести на дисплей графики аппроксимирующих функций.
Точное эталонное аналитическое решение системы (3) дифференциальных уравнений.
Для отладки программы решения общей (припроизвольныхR(V) и T(V)) системы (3) целесообразно задать эти функции в виде полиномов 1-й степени.
(4)
здесь коэффициенты аппроксимации.
Обозначим (5)
Тогда уравнение (2) примет вид:
(6)
Это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
(7)
Здесь начальные условия входят в пределы интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем:
(8)
Потенцируя, получаем:
(9)
Это и есть точное решение уравнения (6). При t=0 имеем V=VH, т.е. начальное условие выполнено автоматически. При разгоне коэффициент и при
получаем:
(10)
(11)
При торможении судна конечная скорость V равна нулю. Учитывая это, подставляем формулу (8) в формулу (11) и получаем значение пройденного пути при торможении:
При отладке программы в общем случае получаемое численное решение с линейными аппроксимациями T(V) и R(V) сравнивается с точным, для проверки правильности алгоритма и программы и выбора тела интегрирования.
Исходные данные.
Судно «Чайка»
Масса судна: 10000 кг
Таблица№1 значений функций R(V) и T(V):