Методы решения нестационарных задач
Обратимся к рассмотренным выше аппроксимациям нестационарных задач. Так, для краевой задачи
в 
, 
,
, 
в 
явная разностная схема имеет вид
, 
, (2.47)
.
В чем состоит метод решения системы сеточных уравнений (2.47) – в проведении вычислений по простым рекуррентным формулам.
Неявную разностную схему для рассматриваемой задачи можно записать в виде
, . (2.48)
Таким образом, для реализации шага неявной схемы следует решить систему сеточных уравнений вида
. (2.49)
Для решения этих систем линейных алгебраических уравнений можно применять различные методы: прямые – метод Гаусса и его различные модификации; итерационные.
Если область, для которой решается задача, является прямоугольником, то существуют специфические весьма эффективные методы решения системы (2.49): прямые методы – быстрое дискретное преобразование Фурье, метод циклической редукции; итерационные методы – метод переменных направлений с оптимальным выбором параметров, метод Р.П. Федоренко, или многосеточный метод (multigrid) и др.
Для довольно широкого класса задач существуют такие схемы, которые сочетают в себе достоинства явных и неявных схем: простота реализации шага почти как для явной схемы, устойчивость при любом соотношении шагов как для неявной схемы.
Продемонстрируем построение этих схем на примере следующей задачи:
в ,
в .
Предположим, что оператор 
не зависит от времени. Здесь мы считаем, что оператор рассматривается на функциях, удовлетворяющих краевым условиям.
Относительно оператора предположим, что
.
Предположим также, что решение систем сеточных уравнений, матрицами которых являются соответствующие сеточные операторы 
и 
, легко осуществляется и не требует больших вычислительных затрат.
В этом случае удобно рассмотреть следующую схему:
,
, .
Это схема переменных направлений, или продольно-поперечная схема. Происхождение названия схемы становится понятным, если применить ее к решению задачи
в ,
на 
,
в при 
.
Для данной задачи схема примет вид
, 
,
, 
.
В первом из этих уравнений схема является явной по направлению переменной 
и неявной по направлению переменной 
, а во втором уравнении – наоборот.
Еще одним примером широко используемых схем для решения эволюционных задач являются схемы, которые получаются так называемым методом расщепления.
Приведем пример схемы, полученной методом расщепления:
,
, .
Для рассмотренного примера, где 
, имеем
,
, .
У этой схемы много названий: локально-одномерная, дробных шагов, покоординатного расщепления.
Обе рассмотренные схемы при 
и 
абсолютно устойчивы.