Элементы вариационного исчисления
Пример 1 (задача о брахистохроне)
Исторически первой задачей о вариационном исчислении была задача о брахистохроне, поставленная И.Бернулли: среди всех кривых, соединяющих две данные точки плоскости, найти ту, двигаясь по которой под действием силы тяжести, материальная точка попадает из начальной точки в конечную за кротчайшее время (рис. 1). Кривая, вдоль которой тело, скорее всего скатывается из начальной точки в конечную, называется брахистохроной.
Рис. 1.
Построим математическую модель задачи. Введем систему координат, начало которой совместим с точкой . Представим искомую кривую уравнением
,
. Применим закон сохранения энергии, трением и сопротивлением среды пренебрегаем
,
где – масса тела,
– ускорение свободного падения,
– величина скорости.
Если , где,
– путь, пройденный телом, то
,
– время движения.
Тогда
.
Полное время движения из точки в точку
выражается интегралом
.
Искомая кривая должна удовлетворять условию
и условиям
,
.
Определение. Переменная величина называется функционалом, зависящим от функций
, принадлежащих некоторому классу функций
, если каждой функции
, согласно некоторому правилу, соответствует единственное число, которое записывается
.
Таким образом, функционал – это отображение
.
Класс функций , на котором определен функционал называется областью определения функционала и обозначается
, а множество
называется множеством значений функционала
.
Пример 2 (цепная линия)
Найдём форму, какую принимает тонкая гибкая однородная нить (цепь) длины под действием силы тяжести.
Рис. 2.
Пусть система выбрана так, что ось
горизонтальна, ось
направлена вертикально вверх, а координаты точек подвеса суть
и
(рис.2). Пусть далее,
задаёт линию, занимаемую цепью. Из механики известно, что получающаяся форма цепи
соответствует экстремуму её потенциальной энергии
,
где – плотность материала цепи,
– ускорение свободного падения.
Искомая форма цепи должна удовлетворять условию
,
краевым условиям
,
,
и условию, определяющему длины цепи
.
Приведенные примеры относятся к задаче на минимум функционала вида
,
который часто встречается в практических приложениях.
Вариационное исчисление занимается условиями существования экстремума и методами их нахождения.
Обозначим через некоторую фиксированную функцию из области определения функционала
.
Разность
,
называют вариацией аргумента функционала .
Вариация функции является функцией
. Эту функцию можно дифференцировать несколько раз, причем, нетрудно видеть что
.
Приращением функционала, отвечающим приращению аргумента , называется величина
,
где ,
,
.
Если может быть представлено в виде
,
где – линейный (и, стало быть, ограниченный) функционал относительно
, а функционал
при норме
, то L называют вариацией функционала
и обозначают
.
Для нормой можно взять
.
Формально, существование вариации функционала связывают с условием его дифференцируемости
.
Пример. Найдем вариацию функционала .
Имеем .
Тогда ,
и, следовательно .
Для функционала
найдем первую вариацию.
,
или
.
Теорема. Если функционал , определенный на
имеющий вариацию, достигает экстремума на функции
, то
.
Рассмотрим функционал
,
с заданными граничными условиями: ,
.
Предположим, данный функционал достигает экстремум в точке . Тогда, согласно необходимому условию существования экстремума
.
В найденной вариации проинтегрируем второе слагаемое по частям:
.
С учетом условий и
, имеем
, и получаем
.
Согласно необходимому условию существования экстремума
.
В этом выражении вариация является произвольной непрерывной функцией на
, так что получаем
.
Полученное дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера для функционала .
Таким образом, условие существования экстремума функционала при условиях
,
приводит к краевой задаче для дифференциального уравнения
при тех же условиях
,
.
Любое решение задачи
,
называется экстремалью.
Если в уравнении раскрыть производную, то получим краевую задачу
.
.