Непосредственное интегрирование
Интегрирование называется непосредственным, если при интегрировании применяются только свойства интегралов и табличные интегралы.
@ Задача 1. Интегрировать функцию
.
Решение: Интеграл вычисляется непосредственно с помощью свойств неопределенных интегралов и табличных интегралов:
.
Замечание: Нет нужды выписывать при промежуточных вычислениях для каждого интеграла свое постоянное слагаемое; достаточно приписать его по выполнения всех интегрирований.
Способ подстановки
Этот способ применяется, как правило, если подинтегральная функция сложная и нет возможности сразу брать интеграл с помощью табличных интегралов.
В подинтегральное выражение вместо x вводится вспомогательная переменная z, связанная с x некоторой зависимостью (как правило, аргумент подинтегральной сложной функции), после чего интеграл сводится к табличному интегралу.
@ Задача 2. Вычислить 
.
Решение: Производится замена переменных 2x – 1 = z, после чего 2x – 1 = z и dx = dz/2 подставляются в подинтегральное выражение, и интеграл сводится к табличному интегралу:
.
@ Задача 3. Вычислить 
.
Решение: Производится замена переменных 1 + x2 = z, после чего находим 2xdx = dz. После подстановки получим:
.
@ Задача 4. Вычислить 
.
Решение: Под квадратным корнем, выделив полный квадрат, интеграл можно свести к табличному интегралу:
.
Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется интегрирование по формуле:
, (1).
Этот способ интегрирования применяется в тех случаях, когда подинтегральная функция представляет собой произведение степенной и показательной функций, степенной и тригонометрической функций и т.д.
@ Задача 5. Вычислить 
.
Решение: В подинтегральном выражении производятся замены x = u; exdx = dv, тогда v = ex; du = dx. После этого применяется формула (1):
.
@ Задача 6. Вычислить 
.
Решение: В подинтегральном выражении производятся замены lnx = u; xdx = dv, тогда 
; 
. После этого применяется формула (1):
.
@ Задача 7. Вычислить 
.
Решение: В подинтегральном выражении производятся замены x2 = u; sinxdx = dv, тогда v = – cosx; du = 2xdx и формула (1) применяется дважды:
Интегралы от тригонометрических функций
@ Задача 8.Вычислить интеграл 
.
Решение: = 
= 
.
Интегралы от дробно-рациональных выражений
@ Задача 9.Вычислить интеграл от дробно-рациональной функции: 
.
Решение: 
= 
Если при интегрировании невозможно найти первообразную, или она не выражается элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется».
Например, такими интегралами являются интеграл Пуассона, интегралы Френеля, интегральный синус и т.д.