Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. уравнение вида:
Если это уравнение преобразовать к виду 
, то полученное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем это выражение далее:
Функцию 
представим в виде: 
Тогда при подстановке в полученное выше уравнение получим:
.
Левая часть этого выражения называется дифференциальной формойуравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
или в виде:
Перейдем к новым обозначениям 
Получим:
После нахождения соответствующих интегралов получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, и соответственно частное решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
. Имеем
; 
; 
.
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
;
; 
.
Получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
;
- верно.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
при условии 
. Имеем
; 
; 
; 
; 
.
При получаем 
Таким образом: 
или 
- частное решение.
Проверка: 
. Следовательно,
- что верно.
Пример. Решить уравнение 
Имеем
; 
; 
; 
.
Получаем:
- общий интеграл и 
- общее решение.
Пример. Решить уравнение 
Имеем
Пример. Решить уравнение 
при условии 
. Имеем
; 
Интеграл, стоящий в левой части берётся по частям:
.
Если , то 
Итого, частный интеграл: 
.
Пример. Решить уравнение 
. Имеем
; 
;
; 
;
Получаем общий интеграл:
.
Пример. Решить уравнение 
.
Преобразуем заданное уравнение:
; 
; 
; 
.
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение 
. Имеем
; 
; 
; 
; 
Допустим, заданы некоторые начальные условия 
и 
. Тогда:
Получаем частное решение 