Тема 4.1.Первообразная. Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Например, для функции x² первообразной будет функция x³/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

(F + C)¢ = F¢ + C¢ = f + 0 = f

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x) = 0.

Доказательство.

Так как g(x) = C, справедливы равенства: g¢(x) = C¢ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x) = 0 при всех xÎ(a;b), то g(x) = C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x₁Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

g(x) – g(x₁) = g¢(x)(x – x₁)

Так как xÎ(x; x₁), а точки x и x₁ принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x) = 0, откуда следует, что g(x) – g(x₁)=0, то есть g(x) = g(x₁)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F)¢ = G¢ – F¢ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число (constanta).

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x) = f(x) соответствует формула òf(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов.

Но прежде отметим, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную x (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).

1. (n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 13.

14. (a≠0).

15. (a≠0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u|<|a|).

Интегралы 1 – 17 называют табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.