С разделенными переменными
1.простейшие ДУ I порядка y’=f(x)
=>dy=f(x)dx=>
=>
, y0=y(x0)(можно найти частное решение.)
2.. Дифференциальное уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0, где f(x), φ(y)-непрерывные функции то уравнение называется, уравнение с разделенными переменными
получаем общее интегральное уравнение.
Уравнение с разделяющимися переменными.
2. ДУ вида M1(x)*M1(y)dx+ M2(x)*M2(y)dy=0, где М1(х), М1(у), М2(х), М2(у) – непрерывные функции это уравнение называется разделяющимися переменными (зависят отдельно только от х или у)
M1(x)*M1(y)dx+ M2(x)*M2(y)dy=0
Разделим на М1(у) и М2(х)
- уравнение с разделенными переменными
Замечание:
Деление на М2(х) и М1(у) может:
1) привести к потери решений
М2(х)=0, М1(у)=0
2) уравнение с разделяющимися переменными можно привести к следующему виду:
Опр. Функция f(x, y) называется однородной степени n если при любых α справедливо (λx. λy)=xmf(x, y)f(x, y)=
Однородное уравнение.
Однородное уравнение первого порядка f(x, y)-однородная степени 0.
Опр. ДУ первого порядка Р(х, у)dx+Q(x, y)dy=0(1) или уравнение если оно разрешается относительно
называется однородным, если функции Р(х, у) и Q(x, y) однородные функции одной степени или f(x,y) – однородная функция нулевой степени однородное ДУ можно свести к уравнению с разделяющими переменными заменой
Правая часть (2) можно свести к аргументу , если положить
степень однородности.
т.к.f(x,y) однородная фун-ия
Выполним в уравнении (2) подстановку ; y=tx;
(уравнение с разделяющими переменными)
общий интеграл ДУ (2)
Замечание: При разделении переменных полагаем, что , поэтому необходимо проверить особое решение.
Линейные
Опр. Линейным ДУ 1-го порядка называется уравнение линейное относительно неиз-ой функции и ее производной.
В общем случае оно может быть записано в виде
где Р(х), f(x)-заданные непрерывные функции.
Если f(x)=0, то линейное уравнение называется однородным, в противном случае, неоднородное.
ЛОУ(линейное однородное уравнение)
уравнение с разделяющими переменными
Рассмотрим неоднородное ЛДУ:
для решение существует 2 метода:
1) метод Лагранжа(метод вариации постоянной)
Сначала решаем линейное однородное ДУ, соотв. неоднородному
=>решение
С-не const, а неизвестная функция с=с(х)
-решаем (2)
подставим в (2)
уравнение с разделяющимися переменными
;
;
Решение ДУ
-решение однородного ЛДУ(2)
-частное решение ДУ(2)
2)Метод Бернулли (метод подстановки)
Ищем решение ДУ (2) в виде произведения 2-х неизвестных функций.
Подставим у, у' в (2)
одну их неизвестных функций мы можем выбирать произвольным способом
Уравнение Бернулли
y'+P(x)y=f(x)yn, n≠0.1 (3)
t(x)=y1-n (сводит к линейному уравнению)
t'=(1-n)y-n y' преобразуем уравнение (3)
Уравнение Риккати
y'+P(x)y+Q(x)y2=f(x)
Заменяем z=z+y1, где y1 – частное решение уравнения Риккати, сводит его к уравнению Бернулли.
ДУ в полных дифференциалах.
ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(4) называется уравнением полных дифференциалов если его левая часть представляет собой дифференциал от функции U(x,y) 2-x переменных M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)(4’)
Уравнение (4) dU(x,y)=0=>U(x,y)=C
Уравнение Лагранжа
используется параметрический метод
y'=t, тогда (6)
Дифференцируем по х
-ЛДУ относительно х и
Решаем методом Лагранжа или методом Бернулли
тогда
Замечание:
, если
=0 имеет действительные корни t=ti, то к общему решению нужно добавить
, i=
Уравнение Клеро (частный случай уравнения Лагранжа )
Пологаем y'=t, тогда дифференцируем по х и имеем:
-общее решение однопарамет-ое семейство прямых.
Замечание: сравнивая общее решение с получаем, что в исходном уравнении y' заменяем на производную константу.
б) x=φ’(t)=0
Решение оспаривется системой
Замечание: интеграл Ф(x,y)=0 – особый интеграл
46. Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение.
Общим решением ДУ (1) называется функция y=φ(x, c1, c2,…,cn) определенная в некоторой области изменения переменных x, c1, c2,…,cn, имеющая непрерывные частные производные до n-го порядка, если:
1. она удовлетворяет условию (1) при любых x, c1, c2,…,cn
2. Для заданных начальных условий: у0=у(х), можно подобрать значение констант С1=С01, С2=С02,… Сn=С0n, такие что функция y=φ(x, c1, c2,…,cn) удовлетворяет условию (*)
Предлагается, что ( ) принадлежит области задания функции
Опр. Всякое общее решение, которое получается из общего решения при конкретном чис-х значений произвольных постоянных называется частным решением.
47. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши ДУ порядка выше первого (без док).
Если функция (n+1)-й переменной в некоторой области (n+1)-мерного пространства непрерывна и имеет частную производную по переменной
, то для любой фиксированной точки
этой области существует и при этом единственная, решение у=φ(х) уравнения
определенное в некотором интервале, содержащее точку х0 и удовлетворяет начальным условиям
у0=у(х0),
48. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).
Тип 1. уравнение вида y(n)=f(x)
Отличительной способностью такого уравнения является отсутствие в нем в явном виде самой искомой функции у и ее производных по (n-1)-го порядка включительно.
Решение такого уравнения находится путем последовательного интегрирования.
Тип 2. уравнение вида F(x;y(n-1);y(n))=0(например: y(4)=cos(x)-5*x)
Отличительной особенностью такого уравнения является отсутствие в нем самой функции у и ее младших производных до n-2-го порядка включительно. Такое уравнение сводится к уравнению первого порядка подстановкой у(n-1)=z(x).
Частным случаем этого типа является уравнение второго порядка, не содержащее явно искомую функцию у: F(x;y’;y’’)=0. Подстановка у’=z(x); y’’= (у’)’=z’(x) приводит уравнение к уравнению первого порядка F(x;z(x);z’(x))=0
Решаем это уравнение, находим функцию z(x, C1)=y’x, а затем искомую функцию у(х;С1;С2)
(например: y’’*x*ln(x)-y’=0)
Тип 3. Уравнение второго порядка вида F(y;y’;y’’)=0
Характерной особенностью такого уравнения является отсутствие в нем в явном виде независимой переменной х. Порядок уравнения можно понизить до первого подстановкой
, тогда
(В данном случае для нахождения у’’ используется правило дифференцирования сложной функции)(например: y’’=32*sin3(y)*cos(y))
49. Линейные ДУ n-го порядка.
Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение, в котором искомая функция y(x) и ее производная входят в первых степенях и не перемножаются. Общий вод такого уравнения
a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x), где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа.
Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид
ay’’+by’+cy=f(x).
Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, или уравнением с правой частью.