Асимптотика при малых числах био

Первый корень уравнения (4.9) вычисляем по соотношению (4.23) при и , а второй — по (4.24). Тогда отношение собственных чисел или коэффициентов термической массивности

, (4.28)

где .

Разность квадратов корней .

Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.6) температуры поверхности

. (4.29)

По аналогии вторая и

. (4.30)

Амплитуда согласно уравнению (4.27) и с учетом того, что при малых аргументах :

. (4.31)

Амплитуда .

Для среднемассовой температуры:

и . (4.32)

Для перепада температур по уравнению (4.11)

(4.33)

.

Для термических напряжений в центре пластины по (4.4)

(4.34)

Для термонапряжений на поверхности

(4.35)

С целью проверки амплитуды можно использовать равенство .

Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.18) также упростятся.

Коэффициент поверхности

,

для перепада температур

(4.36)

и центра

.

Анализ уравнений (4.18) и (4.36) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.

Для оценки различия максимальных времен составим их разности:

(4.37)

и

Из (4.37) следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до – см. уравнение (4.45).

На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение . Наиболее просто можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.3)…(4.11) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.3) на (4.4) и учитывая упрощенные соотношения (4.34) и (4.35), получим

(4.38)

4.1.2. Асимптотика при больших числах Био.

Теперь корни находим по уравнению (4.25). Тогда отношение

. (4.39)

Разность квадратов корней

, (4.40)

где ; .

Амплитуды:

; ,

где ; .

; ,

где и — амплитуды при .

; где ; .

; ;

; .

; ; ; .

_{; ; ;}

Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:

; (4.41)

; (4.42)

; (4.43)

В предельном случае при :

; ;

. (4.44)

Так как лишено физического смысла, следует взять .

Тогда наименьшие максимальные времена согласно (4.18) при будут:

,

. (4.45)

Подставляя (4.45) в уравнение (4.4), получим максимально возможное термическое напряжение в центре пластины

. (4.46)

Термонапряжение на поверхности при времени

перепад температур

и отношение напряжений в этот момент времени

.

Последнее несколько больше, чем отношение , которое получено для стадии РРН с учетом первого члена ряда.

Следует отметить, что если приближенно считать , то из уравнения (4.10) будем иметь

(4.47)

и это соотношение полностью совпадает с формулой Н.Ю. Тайца [28]

. (4.48)

Из анализа уравнения (4.41) вытекает, что коэффициент меняет знак по причине изменения знака амплитуды , изменяющейся от при малых числах Био до . Из условия равенства нулю можно получить граничное число выше которого имеем случаи нагрева термически «массивного» тела. Таким образом, при числах для определения времени можно применять формулу (4.12) в которой определяется по уравнению (4.41), а при коэффициент становится отрицательным и нельзя пользоваться формулой (4.12). Возникшую ситуацию можно объяснить следующим образом. Формулы (4.12)…(4.22) получены с учетом всего двух членов ряда. С ростом числа Био максимальное время уменьшается, вплоть до 0 при .

При очень малых числах Фурье расчёт температур по уравнениям (4.3)…(4.11) затруднителен из-за необходимости учета большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае для расчёта поверхностной и среднемассовой темпе­ратур можно использовать формулы, полученные методом операционного исчисления в работе [10] (см. уравнения (3.25)…(3.27))

С учетом сказанного уравнение (4.3) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид

(4.49)

где .

Вместо уравнения (4.6) будет (3.25), а вместо (4.8) — (3.26). Температуру в центре тела на начальной стадии нагрева ( ) приближенно можно принять .

Дифференцируя уравнение (4.49) по времени и приравнивая производную нулю, получим при малых ( )

, (4.50)

и больших аргументах ( )

, . (4.51)

Таким образом, при больших числах Био ( ) расчет времени вместо (4.12) следует производить по уравнению (4.50) или (4.51).

Расчет по (4.13) с учетом (4.42) даст

. (4.52)

Иногда требуется определить расположение координаты нейтрального слоя в котором термические напряжения меняют знак с на , т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее просто это можно сделать в стадии РРН. Тогда согласно уравнению (4.2) или .

Разрешая последнее выражение относительно , получим

, (4.53)

где .

При малых числах Био . Тогда с учетом тригонометрического тождества и разложения в ряд , будем иметь

. (4.54)

При больших числах Био

и . (4.55)

В предельном случае при , . Таким образом, поскольку нейтральные слои расположены несколько ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах — от 0,56 до 0,58.

Следует отметить, что при нагреве абсолютные, т.е. размерные термические напряжения поменяют знаки за счет отрицательности из-за .

В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева плоских тел, так и их охлаждение.

Рассмотрим численный пример, взятый из [28].

В печи необходимо нагреть плиту толщиной 0,25 м из стали со следующими теплофизическими свойствами: l = 29 Вт/(м×К), а = 0,69×10^-5 м²/с, коэффициент теплоотдачи в печи a = 122 Вт/(м²×К), температура печи = 900 °С; Начальная температура плиты t₀ = 0 °С. Необходимо найти термические напряжения. При перечисленных исходных данных число Bi = 0,5. Пусть время час. Число Фурье .

Согласно уравнению (4.23) при коэффициенте геометрической формы k = 3 для пластины получим: m = 1+0,5/3 = 7/6; D = 3/7; ρ = D²/45 = 4×10^-3;
γ ≈ 1+ρ = 1,004 и окончательно первый корень μ₁ = =0,6533.

Второй корень по формуле (3.104) при ; ; ;

второй корень .

Отношение корней ;

.

Разность квадратов .

Амплитуды: ; ;

; ;

;

.

Температура на поверхности по уравнению (4.6)

,

где ;

.

Температура в центре по (4.7)

.

Среднемассовая по формуле (4.8)

.

Окончательно термические напряжения на поверхности по уравнению (4.3) и в центре по (4.4) . Расчет по уравнению (4.49) при с учетом , рассчитанной по (3.27), дает .

Полученные результаты хорошо согласуются с данным [28] по которым с погрешностью и с .

Максимальные времена с учетом коэффициентов по (4.36) ; и :

; и .

Тогда максимальные напряжения по уравнениям (4.16)

и согласно (4.17)

.