Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

5.Метод замены переменной в определенном интеграле

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

6.интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и vопределяется формулой

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

или, переставляя члены,

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

7.Несобственные интегралы первого рода.Определение Предположим, что функция Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru задана на бесконечном промежутке вида Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и интегрируема на любом конечном отрезке Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Если эта функция имеет предел при Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , то число Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru называется значением несобственного интеграла первого рода:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

8.Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru задана функция Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . В точке Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

она определена при Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Эта функция может иметь предел при Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru по всему полуинтервалу Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и обозначать в точности: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Определение. Пусть функция Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru удовлетворяет указанным выше условиям на Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

значение которого равняется левостороннему пределу

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.

9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ,
выразится с помощью интеграла: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (1)

Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru
или
Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (2)

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответствует.

10.

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть известна функция Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и требуется найти длину дуги, заданной функцией Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Для определения длины дуги Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru необходимо вычислить определенный интеграл:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Рассмотрим случай параметрического задания кривой: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . В этом случае для определения длина дуги Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru вычисляется определенный интеграл: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Тогда для определения длины дуги Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru вычисляется следующий определенный интеграл:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

11.

МатематическиОбъём

В общем случае математически объём тела вычисляется по следующей интегральной формуле: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

,где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — характеристическая функция геометрического образа тела.

Для ряда тел с простой формой более удобным является использование специальных формул. Например, объём куба с длиной стороны, равной a, равен Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Через плотность

Объём находится по формуле: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

12.

Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru вокруг оси Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru вокруг оси Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

13.

Определителем квадратной матрицывторого порядка:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru называется число, равное а11а22—а21а12 и обозначаемое символом

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя матрицы второго порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой а с двумя индексами; первый (1) обозначает номер строки, второй (2) - номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент а21 принадлежит второй строке и первому столбцу определителя).

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы в контрольных по математике употребляются следующие обозначения:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Определителем квадратной матрицы третьего порядка

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru называют число

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

14.Метод Крамера— способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы

Описание методаДля системы Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru линейных уравнений с Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru неизвестными (над произвольным полем)

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

с определителем матрицы системы Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , отличным от нуля, решение записывается в виде

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , либо набор Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

15.Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.Матрицы допускают следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер;умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru столбцов, можно умножить справа на матрицу,имеющую Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru строк);умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр). В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц.Таковы,например, единичная, симметричная,кососимметричная, верхнетреугольная

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ,

тогда Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru вида Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где первый индекс означает индекс строки: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;,второй индекс означает индекс столбца: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса еще называют методом последовательных исключений, поэтому основная задача, на каждом шаге исключать переменную, пока не останется одна. Если использовать матрицы, то это означает, что используя элементарные преобразования и перемещения столбцов необходимо привести расширенную матрицу к виду:

a'12 ... a'1r a'1r+1 ... a'1n b'1
... a'2r a'2r+1 ... a'2n b'2
... ... ... ... ... ... ... ...
... a'rr+1 ... a'rn b'r
... ... b'r+1
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... b'm

На этом шаге можно закончить преобразования, и последовательно находить корни системы уравнений в обратном порядке, но что бы этого не делать, продолжим и приведем матрицу к более удобному для нас виду:

... ... b''1
... ... b''2
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... b''r
... ... b''r+1
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... b''m

Глядя, на эту матрицу видно, что в каждой строке присутствует лишь одна переменная и свободный член, что нам и нужно

16.Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru обозначает определитель. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru для любых двух обратимых матриц Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru обозначает транспонированную матрицу. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru для любого коэффициента Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .Если необходимо решить систему линейных уравнений Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , (b — ненулевой вектор) где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — искомый вектор, и если Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru существует, то Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru неизвестными (над произвольным полем):

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Тогда её можно переписать в матричной форме:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — основная матрица системы, Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Умножим это матричное уравнение слева на Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — матрицу, обратную к матрице Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru : Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Так как Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , получаем Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

17.

Векторы и линейные операции над ними.Одна точка такого отрезка является началом, а другая граничная тока — концом вектор. Вектор обозначается Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru или Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , где Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru является началом вектора, а Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru — концом. Длина вектора (также называемый его модулем) обозначается как Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru или Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Нуль-вектором именуется вектор, в котором конец совпадает с его началом.

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru
О: Коллинеарными именуются векторы, которые расположены на параллельных (к примеру, на одной) прямых, а компланарными называются векторы, которые находятся в параллельных плоскостях.

О: Равными являются векторы, которые: 1) коллинеарны; 2) направлены одинаково ( то есть сонаправлены — ↑↑); 3) обладают равными модулями.Таким образом, существует возможность переноса вектора параллельно самому себе, при перемещении начала Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru в любую прочую точку. Векторы подобного типа именуются свободными.

Линейные операции, выполняемые над векторами: сложение, вычитание и умножение на число.

Сложение векторов

Суммой Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru совмещён с началом вектора Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru с концом вектора Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru (рис. 2.2, а).

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Свойства сложения векторов:

10. Переместительный закон (коммутативность): Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru 20. Сочетательный закон: Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Доказательство выводится из рис. 2.3. На этом же рисунке дано правило сложения нескольких векторов, в случае когда начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Сумма представляет собой вектор, который соединяет начало первого вектора с концом последнего слагаемого вектора.

Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Вычитание векторов

Разностью Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru векторов Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru и Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru является вектор Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , для которого справедливо Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru . Исходя из определения имеем правило построения вектора Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , когда начала обоих векторов Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru совмещены: необходимо совместить конец вычитаемого вектора Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru с концом уменьшаемого вектора Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Наши рекомендации