Лекция 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

МУЛЬТИМЕДИЙНЫЕ ЛЕКЦИИ

дисциплины		Теория вероятностей
для бакалавров (магистров) направления подготовки		080100.62 Экономика
Факультет, на котором проводится обучение
Кафедра – разработчик		Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Содержание

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ. 4

Бином Ньютона и его свойства. 6

Лекция 2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ. 9

Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Операции над случайными событиями. 9

Классическое определение вероятности. 10

Лекция 3. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. 13

Операции над случайными событиями. 13

Правило произведения событий. 13

Теоремы сложения и умножения вероятностей. 14

Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий. 19

Лекция 4. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 21

Формула полной вероятности. 21

Формула Байеса. 22

Повторение независимых испытаний. ФормулаБернулли. 24

Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов). 25

Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная). 26

Интегральная формула Лапласа. 27

Формула Пуассона. 28

Лекция 5. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. 30

Основные числовые характеристики случайных величин. 31

Лекция 6. НАЧАЛЬНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ. 35

Лекция 7. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 36

Лекция 8. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ, ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ. 43

Лекция 9. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 47

Лекция 10. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. 54

Лекция 11. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ). ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 60

Функция распределения, плотность вероятности. 61

Вероятность попадания в заданную область и числовые характеристики случайных векторов. 61

Лекция 12. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. УСЛОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РЕГРЕССИЯ. 63

Ковариация и коэффициент корреляции. 64

Закон больших чисел. 67

Лекция 13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. 69

Вариационный ряд. Варианты. Относительная частота варианты. 69

Лекция 14. СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ. ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА ЧАСТОТ. 71

Лекция 15. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СРЕДНЯЯ. 75

Лекция 16. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ. 79

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 82

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 85

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. 88

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. 89

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. 89

Лекция 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ.

n – факториал ‒ произведение первых n ‒ натуральных чисел(обозначается n!).

Основными понятиями комбинаторики являются ‒ размещения, перестановки и сочетания.

Определение 1.Пусть имеется множество, содержащее n‒элементов.

Размещением из n ‒ элементов по m ‒ элементов (m≤n) ‒ называются все подмножества, содержащие m ‒ элементов и отличающиеся друг от друга или составом своих элементов или порядком их следования.

‒ число размещений из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

Определение 2.Перестановками из n ‒ элементов называются размещения из n ‒ элементов по n ‒ элементов.

–число перестановок из n ‒ элементов.

Определение 3.Сочетаниями из n ‒ элементов по m ‒ элементов(m≤n) называются все m‒ элементные подмножества n ‒ элементного множества, отличающиеся друг от друга только составом своих элементов.

‒ число сочетаний из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

Свойства сочетаний:

1.

Доказательство:

Так как

Следовательно,

Примеры:

2.

Доказательство:

Примеры:

3.

Доказательство:

Примеры: