Основные сведения о методах анализа линейных рас

Кдинамическим характеристикам относят частотныеивременные характеристики.

Частотные характеристики показывают изменения модуля и аргумента комплексного коэффициента передачи в функции от частоты гармонического входного воздействия. Аргумент временных характеристик – время.

Свойства линейного динамического звена (как и всей системы) могут быть количественно и качественно описаны через его ПФ.

Передаточная функция (ПФ).Различают ПФ в операторной форме, в форме изображений Лапласа и частотные ПФ.

Из-за наличия инерционных элементов и преобразований энергии процессы в РАС обычно описываются дифференциальными уравнениями.

Часто используется операторная форма (p= d/dt, y⁽ⁿ⁾→pⁿ).

. (1.1)

ПФ K_yx(p) в операторной форме отражает способность звена преобразовывать входное воздействие

. (1.2)

где L – оператор прямого преобразования Лапласа (прил. 1).

, (1.3)

есть прямое преобразование Лапласа выходного процесса.

От ПФ в операторной форме в стационарном режиме можно перейти к частотной ПФ (ЧПФ), заменив оператор p на переменную iw, где – мнимая единица.

. (1.4)

Y(iw) – спектральная характеристика выходного процесса, полученная как прямое преобразование Фурье F[y(t)] от временной функции y(t)

. (1.5)

ЧПФ есть комплексный коэффициент передачи системы по частоте w.

Частотные свойства ЧПФ отображают также в виде графика – годографа. Годограф ЧПФ строят либо в полярной, либо в декартовой системе координат. При этом соответственно пользуются экспоненциальной или алгебраической формами записи комплексного числа

. (1.6)

Соответствующий график содержит информацию о модуле – K_yx(ω), фазе – φ_yx(ω) и циклической частоте ω. Так как каждая его точка соответствует определенной фиксированной частоте, его называют амплитудно-фазово-частотной характеристикой (АФЧХ).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) строится по формуле

, (1.7)

где Y(ω) и X(ω) – комплексные амплитуды процессов на частоте ω.

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) представляется в виде

. (1.8)

Графики АЧХ и ФЧХ имеют линейный масштаб по оси абсцисс.

Временные характеристики.T – постоянная времени цепи, которая характеризует быстродействие звена, ее можно определить графически, если провести касательную к кривой h(t) (ПХ) в точке h(0) (рис. 1.1).

Для звеньев первого порядка время регулирования может быть определено как T_pег= (4...5)T [1].

При исследовании ПХ динамических звеньев в виде электрических цепей создать единичный скачок напряжения несложно. Для этого, в частности, можно использовать периодическую последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых будет существенно больше T_pег звена.

Амплитуда импульсов должна выбираться с таким расчетом, чтобы не нарушились условия линейности звена.

Импульсная характеристика (ИХ) – g(t) определяет поведение процесса на выходе системы при воздействии на ее входе дельта-импульса (d(t) – функции Дирака) при нулевых начальных условиях.

– (1.9)

обратное преобразование Лапласа ПФ K(p); а

– (1.10)

обратное преобразование Фурье ЧПФ K(iw).

ИХ, как и ПХ h(t), АФЧХ, совокупность ЛАЧХ и ЛФЧХ, также позволяет определить все параметры линейного звена.

В условиях эксперимента можно сформировать воздействие d(t) лишь приближенно, например использовать короткий импульс, длительность которого много меньше постоянной времени звена (Т_и << Т). Рекомендуется выбирать Т_и из отношения Т_и < Т/(20…50).