Элементарные функции и их графики. Основными элементарными функциями называются следующие:

Основными элементарными функциями называются следующие:

- степенная функция , где ;

- показательная функция , где ;

- логарифмическая функция где ;

- тригонометрические функции ;

-обратные тригонометрические функции: ,

.

Элементарными функциями являются основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиции, например:

.

Назовем некоторые классы элементарных функций.

Целая рациональная функция, или многочлен , где n- целое неотрицательное число (степень многочлена), - постоянные числа (коэффициенты).

Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций:

.

Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют класс рациональных функций.

Иррациональная функция – это та, которая изображается с помощью суперпозиций рациональных функций и степенных функций с рациональными целыми показателями, например:

.

Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Степенная функция

Y Y

(1;1)

0 X

0 x

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Y

Y

(1,1)

0 X

0 x

Рис. 2.3. Рис. 2.4.

Y Y

0 x 0 x

Рис. 2.5. Обратно пропорциональная Рис. 2.6. Обратно пропорциональная

зависимость зависимость

Y Y

(1;1) (1;1)

0 x 0 x

а б

Рис. 2.7. Степенная функция с положительным рациональным

показателем

Y Y

(1;1) (1;1)

0 x 0 x

а б

Рис. 2.8. Степенная функция с положительным рациональным

показателем

Y Y

(1;1) (1;1)

0 x 0 x

а б

Рис. 2.9. Степенная функция с положительным рациональным

показателем

Y

0 х

Рис. 2.10. Степенная функция с отрицательным рациональным

показателем

Y

0 x

Рис. 2.11. Степенная функция с отрицательным рациональным

показателем

Y

0 x

Рис. 2.12. Степенная функция с отрицательным

рациональным показателем

Y Y

(0;1) (0;1)

0 x 0 x

а б

Рис. 2.13. Показательная функция

Y 2

0 x

Рис. 2.14. Логарифмическая функция

Y

-3p/2 -p/2 0 p/2 3p/2 x

Рис. 2.15. Тригонометрическая функция

Y

-3p/2 p/2 p/2 3p/2

0 x

Рис. 2.16. Тригонометрическая функция

Y Y

-p/2 p/2 -p p/2 3p/2

-p 0 p x -p/2 0 p x

Рис. 2.17. Тригонометрическая Рис. 2.18. Тригонометрическая

функция функция

Y

2p

3p/2 Y

p/2

p/2

-1 0 1 x

-1 0 1 x

-p/2 -p/2

-p

Рис. 2.19. Обратная тригономет- Рис. 2.20. Обратная тригонометри-

рическая функция ческая функция

Y

5p/2 Y

3p/2 p

p p/2

p/2

-1 0 1 x

-1 0 1 x

-p

Рис. 2.21. Обратная тригонометрическая Рис. 2.22. Обратная тригонометри-

функция ческая функция

Y

Y

p

p/2

0 x 0 x

-p/2

-p

-2p

Рис. 2.23. Обратная тригонометри- Рис. 2.24. Обратная тригонометри- ческая функция ческая функция

Y

5p/2

3p/2 Y

p/2

p/2

0 x

-p/2 0 x

Рис. 2.25. Обратная тригонометри- Рис. 2.26. Обратная тригонометрическая

ческая функция функция

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1.

По графику функции путем сдвигов и деформаций построить график функции .

Построение заданной функции проводится в несколько этапов, которые мы здесь рассмотрим. Функцию будем называть основной.

Построение графика функции .

Предположим, что для некоторых x₁ и x₂ основная и заданная функции имеют равные ординаты, то есть . Но тогда должно быть и

. В зависимости от знака a возможны два случая.

1. Если a > 0, то точка графика функции смещена вдоль оси OX на a единиц вправо по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.1).

2. Если a < 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем

y y

y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)

a

0 x x+a x x+a 0 x x

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Правило 1. Если a > 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на “a” единиц вправо.

Если a < 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц влево.

Примеры.Построить графики функций: 1) ; 2) .

1) Здесь a = 2 > 0. Строим график функции . Сдвинув его на 2 единицы вправо вдоль оси OX, получим график функции

(рис. 3.3).

2) Здесь a = -3 < 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).

Y Y

y=(x+3)² y=x²

-1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Замечание.Построение графика функции можно выполнить иначе: построив график основной функции в системе надо перенести ось на а единиц влево, если , и на единиц вправо, если . Тогда в системе получим график функции . Система имеет вспомогательное значение, поэтому ось изображается пунктирно или карандашом.

В качестве примера построим еще раз графики функций и (рис. 3.5) и (рис. 3.6)

Y Y₁ Y₁ Y

О₁ О

0 1 2 x -3 -2 -1 0 x

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Построение графика функции где

Пусть для некоторых значений и ординаты функций и равны, то есть . Тогда и . Таким образом, каждой точке графика основной функции соответствует точка графика функции Возможны два случая.

1. Если , то точка лежит в k раз ближе к оси OY, чем точка (рис. 3.7).

2. Если же 0 < k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Y Y

y y

0 x X 0 x X

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции f(kx) получается из графика функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).

Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Примеры. Построить графики функций: 1) и ;

2) и .

Y Y

^{(3) (1) (2)} p

p/2 _{(2) (1) (3)}

¹

-2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Рис. 3.9 Рис. 3.10

1. Строим график функции - кривая (1) на рис. 3.9. Сжав его в два раза к оси OY, получим график функции - кривая (2) на рис. 3.9. При этом, например, точка (1; 0) переходит в точку , точка переходит в точку .

Замечание. Обратите внимание: точка , лежащая на оси OY, остается на месте. Действительно, всякой точке N(0, y) графика f(x) соответствует точка графика f(kx).

График функции получается растяжением графика функции от оси OY в 2 раза. При этом снова точка остается без изменения (кривая (3) на рис. 3.9).

2. По графику функции , построенному в промежутке , строим графики функций - кривые (1), (2), (3) на рис. 3.10. Обратите внимание, что точка (0; 0) остается неподвижной.

Построение графика функции y=f(-x).

Функции f(x) и f(-x) принимают равные значения для противоположных значений аргумента x. Следовательно, точки N(x;y) и M(-x;y) их графиков будут симметричны относительно оси OY.

Правило 3. Чтобы построить график f(-x), надо график функции f(x) зеркально отразить относительно оси OY.

Примеры. Построить графики функций и .

Решения показаны на рис. 3.11 и 3.12.

Y Y

1 -1 1 х

0 x

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Построение графика функции y=f(-kx), где k > 0.

Правило 4. Строим график функции y=f(kx) в соответствии с правилом 2. График функции f(kx) зеркально отражаем от оси OY в соответствии с прави-

лом 3. В результате получим график функции f(-kx).

Примеры. Построить графики функций

.

Решения показаны на рис. 3.13 и 3.14.

Y Y

p

p/2

1

-1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Построение графика функции , где A > 0. Если A > 1, то для каждого значения ордината заданной функции в А раз больше, чем ордината основной функции f(x). В этом случае происходит растяжение графика f(x) в А раз вдоль оси OY (иначе: от оси OX).

Если же 0 < A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Правило 5. Пусть A > 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его растяжения в А раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Пусть 0 < A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).

Примеры. Построить графики функций 1) , и 2) ,

.

Y Y

2

1

1 0 p/2 p p/3 p x

-1

1 х -2

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Построение графика функции .

Для каждого точки N(x,y) функции f(x) и M(x, -y) функции -f(x) симметричны относительно оси OX, поэтому получаем правило.

Правило 6. Для построения графика функции надо график зеркально отразить относительно оси OX.

Примеры. Построить графики функций и (рис. 3.17 и 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

-1 -1

Рис. 3.17 Рис. 3.18

Построение графика функции , где A>0.

Правило 7. Строим график функции , где A>0, в соответствии с правилом 5. Полученный график отражаем зеркально от оси OX в соответствии с правилом 6.

Построение графика функции .

Если B>0, то для каждого ордината заданной функции на B единиц больше, чем ордината f(x). Если же B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.

Правило 8. Чтобы построить график функции по графику y=f(x), надо этот график перенести вдоль оси OY на В единиц вверх, если B>0, или на единиц вниз, если B<0.

Примеры.Построить графики функций: 1) и

2) (рис. 3.19 и 3.20).

Y

Y

2

2

1 1

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

1/2

-1

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Схема построения графика функции .

Прежде всего запишем уравнение функции в виде и обозначим . Тогда график функции строим по следующей схеме.

1. Строим график основной функции f(x).

2. В соответствии с правилом 1 строим график f(x-a).

3. Путем сжатия или растяжения графика f(x-a) с учетом знака k по правилам 2-4 строим график функции f [k(x-a)].

Обратите внимание: сжатие или растяжение графика f(x-a) происходит относительно прямой x=a (почему?)

4. По графику в соответствии с правилами 5-7 строим график функции .

5. Полученный график сдвигаем вдоль оси OY в соответствии с правилом 8.

Обратите внимание: на каждом шаге построения в качестве графика основной функции выступает предыдущий график.

Пример. Построить график функции . Здесь k=-2, поэтому . Учитывая нечетность , имеем .

1. Строим график основной функции .

2. Сместив его вдоль оси OX на единицы вправо, получим график функции

(рис. 3.21).

3. Полученный график сжимаем в 2 раза к прямой и таким образом получаем график функции (рис. 3.22).

4. Сжав к оси OX последний график в 2 раза и зеркально отразив его от оси OX, получим график функции (рис. 3.22 и 3.23).

5. Наконец, смещением на вверх по оси OY получаем график искомой функции (рис. 3.23).

Y Y

π/2 π/2

π/4

-1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/4

-π/2 -π/2

Рис. 3.21 Рис. 3.22

Y Y

π/2

π/4

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

-π/4

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Задача 2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Решение этой задачи также состоит из нескольких этапов. При этом необходимо помнить определение модуля:

Построение графика функции .

Для тех значений , для которых , будет . Поэтому здесь графики функций и f(x) совпадают. Для тех же , для которых f(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .

Правило 9. Строим график функции y=f(x). После этого ту часть графика f(x), где , оставляем без изменения, а ту его часть, где f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Замечание. Обратите внимание, что график всегда лежит выше оси OX или касается ее.

Примеры.Построить графики функций

(рис. 3.24, 3.25, 3.26).

Y Y

2

0 2 x 0 x

-2

Рис. 3.25 Рис. 3.26

Построение графика функции .

Так как , то , то есть задана четная функция, график которой симметричен относительно оси OY.

Правило 10. Строим график функции y=f(x) при . Отражаем построенный график от оси OY. Тогда совокупность двух полученных кривых даст график функции .

Примеры. Построить графики функций

(рис.3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Рис. 3.27 Рис. 3.28 Рис. 3.29

Построение графика функции .

Строим график функции по правилу 10.

Строим график функции по правилу 9.

Примеры. Построить графики функций и .

1. Строим график функции (рис. 3.28)

Отрицательную часть графика отражаем от оси OX. График изображен на рис. 3.30.

Y Y

-2 0 2 x -1 0 1 x

-2

Рис. 3.30 Рис. 3.31

2. Строим график функции (рис. 3.29).

Отражаем отрицательную часть графика от оси OX. График изображен на рис. 3.31.

При построении графика функции, содержащей знаки модуля, весьма существенно знать промежутки знакопостоянства функции. Поэтому решение каждой задачи необходимо начинать с определения этих промежутков.

Пример. Построить график функции .

Область определения . Выражения x+1 и x-1 изменяют свои знаки в точках x=-1 и x=1. Поэтому область определения разобьем на четыре промежутка:

.

-1 0 1 x

Учитывая знаки x+1 и x-1, имеем

;

;

;

.

Таким образом, функцию можно записать без знаков модуля следующим образом:

Функциям соответствуют гиперболы, а функции y=2 – прямая линия. Дальнейшее построение можно провести по точкам (рис. 3.32).

x	-4	-2	-1	-
y

Y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Рис. 3.32

Замечание. Обратите внимание, что при x=0 функция не определена. Говорят, что функция в этой точке терпит разрыв. На рис. 3.32 это отмечено стрелками.

Задача 3. Построение графика функции, заданной несколькими аналитическими выражениями.

В предыдущем примере функцию мы представили несколькими аналитическими выражениями. Так, в промежутке она изменяется по закону гиперболы ; в промежутке , кроме x=0, это линейная функция; в промежутке снова имеем гиперболу . Подобные функции часто будут встречаться в последующем. Рассмотрим простой пример.

Путь поезда от станции А до станции B состоит из трех участков. На первом участке он набирает скорость, то есть в промежутке его скорость , где . На втором участке он движется с постоянной скоростью, то есть v=c, если . Наконец, при торможении его скорость будет . Таким образом, в промежутке скорость движения изменяется по закону

Построим график этой функции, полагая a₁=2, c=2, b=6, a₂=1 (рис. 3.33).

V₂ Y

1 1

0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x

Рис. 3.33 Рис. 3.34

В этом примере скорость v изменяется непрерывно. Однако в общем случае процесс может протекать более сложно. Так, функция

имеет более сложный график (рис. 3.34), который в точке терпит разрыв.

Таким образом, если задана функция

то надо построить график функции y=f(x) в промежутке и график функции в промежутке . Совокупность двух таких линий даст график заданной функции.

Задача 4. Построение кривых, заданных параметрически.

Задание кривой L параметрически характеризуется тем, что координаты x,y каждой точки задаются как функции некоторого параметра t :

(1)

При этом в качестве параметра t может выступать время, угол поворота и т.д.

К параметрическому заданию кривой L прибегают в тех случаях, когда трудно или вообще невозможно выразить явным образом y как функцию аргумента x , то есть y=f(x). Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Декартовым листом называется кривая L , уравнение которой имеет вид .

Положим здесь , тогда или , то есть , . Итак, параметрические уравнения декартова листа имеют вид: , , где .

Кривая изображена на рис. 3.35. Она имеет асимптоту y=-a-x.