Исследование функции одной переменной методами дифференциального исчисления

Вогнутый график функции - секущая над кривой, касательная под кривой. Выпуклый график - секущая под кривой, касательная над кривой.

Теорема: Если на некотором участке кривой функция дважды дифференцируема и , если 1. у 2 штриха>0 функция вогнутая. 2. у 2 штриха<0 функция выпуклая.

При исследовании функции, прежде всего, выделяют вертикальные асимптоты, которые соответствуют точкам разрыва непрерывности функции.

у=1/х-2; х-2- асимптота графика данной функции (вертикальная асимптота).

Наклонные ассимп. обычно наход., используя уравнение прямой с угловым коэффициентом (у=кх+б).

К= ℓim f(x)/x

х-∞

б= ℓim (f(x)-кх)

х-∞

Общая схема исследования: 1. найти область определения. 2. исследование функции на четность и нечестность.3. найти вертик. асимптоты. 4. найти гориз. и наклонные асимптоты. 5. найти экстремумы, а значит, и интервалы монотонности функции. 6. найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.. (если сущ.).7. найти точки пересечения с осями координат и некоторые характерные точки.

Пример: у= 2х²+1/х.

К= ℓim 2х²+1/х/х= ℓim 2х²+1/ х²= ℓim(2+1/ х²)=2

х-∞

б= ℓim ((2х²+1/х)-2х)= 1/х=0; у=2х+0; у=2х- наклонная асимптота.

Исследуем на функцию на экстремум: у штрих= 4х*х-1(2х²+1)/х²= 2х²-1/х². у штрих=о; 2х²-1=0; х1,х2=±1/√2

у 2 штриха= 4х*х^2-2х(2х²-1)/х⁴=2/х³.

(-∞; 0) у 2 штриха<0 выпуклый график.

(0; ∞) у 2 штриха>0 вогнутый график функции.

№1 Геометрическое представление векторной величины

Направленным отрезком называют отрезок определенной длины и определенного направления. Направленный отрезок с фиксированным началом А и концом В называется связанным вектором и обозначается АВ. Если для направленной отрезка фиксируются только его длина и направление, то он называется свободным вектором (обозначение аˉ,bˉ,хˉ,...). Длиной связанного вектора АВ (модулем, нормой) называется расстояние между точками А, В и обозначается |АˉВ|; запись также |аˉ| означает длину вектора аˉ, которую находят как длину соответствующего направленного отрезка.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается О.

1.Сложение: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂) аˉ+вˉ=(х₁+х₂;у₁+у₂)

2.Вычитание: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂)

аˉ-вˉ=(х₁-х₂;у₁-у₂)

Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным

аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х₁;у₁)=(-х₂;-у₂)= (х₁-х₂;у₁-у₂)

3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх₁;λу₁)

Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1)

(-1)аˉ= -аˉ(-х₁;-у₁)

№2 Алгебраическое представление векторной величины

1.Сложение: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂) аˉ+вˉ=(х₁+х₂;у₁+у₂)

2.Вычитание: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂)

аˉ-вˉ=(х₁-х₂;у₁-у₂)

Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным

аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х₁;у₁)=(-х₂;-у₂)= (х₁-х₂;у₁-у₂)

3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх₁;λу₁)

Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1)

(-1)аˉ= -аˉ(-х₁;-у₁)

№3 Линейные операции над векторами

1.Сложение: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂) аˉ+вˉ=(х₁+х₂;у₁+у₂)

2.Вычитание: аˉ=(х₁;у₁) вˉ=(х₂;у₂)

аˉ-вˉ=(х₁-х₂;у₁-у₂)

Вычитание векторов можно заменить сложением данного вектора с противоположным

аˉ-вˉ= аˉ+(-вˉ)= (х₁;у₁)=(-х₂;-у₂)= (х₁-х₂;у₁-у₂)

3.Умножение вектора на число(скаляр) λ×аˉ=(λх₁;λу₁)

Вектор противоположный вектору а получается в результате умножения данного вектора на(-1)

(-1)аˉ= -аˉ(-х₁;-у₁)

№4 Скалярное произведение двух векторов: определение, примеры, св-ва

Под скалярным произведением двух векторов а и в понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. скалярное произведение двух векторовравнодлине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

аˉ×вˉ=(х₁×х₂; у₁×у₂)=|аˉ|×|вˉ|×cosλ

1. переместительное св-во аˉвˉ=вˉаˉ

2.Распределительное св-во (аˉ+вˉ)×сˉ=аˉсˉ+вˉсˉ

3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е. а ²=|а|²

4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

(λаˉ, вˉ)= (аˉ, λвˉ)= λ(аˉ,вˉ)

5. скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

(λаˉ+βвˉ, сˉ)= λ(аˉ, сˉ)+β(вˉ, сˉ) (β и λ—скаляры)

Все рассмотренное применимо к трехмерным векторам.

n-мерный вектор—упорядоченная совокупность n-действительных чисел.

5.Условие коллинеарности векторов, условие ортогональности векторов в пространстве Rⁿ

Условие коллинеарности:

Определение: Два вектора аˉ и вˉ называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле(т.е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой)

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. вˉ = Каˉ (К — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы аˉ и вˉ (аˉ ≠0) коллинеарны и еˉ, еˉ'-- ихорты. Имеем

аˉ = ае и вˉ = ве'. (2) Очевидно, еˉ΄= ±еˉ (3) , где знак плюс соответствует век­торам аˉ и вˉ одинакового направле­ния, а знак минус—векторам аˉ и вˉ противоположного направле­ния. Из формул (2) и (3) получаем вˉ= ±ве= ± в÷а×(ае)= ± в ÷а×аˉ

Отсюда вытекает формула (1), где К = ± в÷а.

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов аˉ и вˉ непосредственно следует из смысла умно­жения векторов на скаляр.

Условие ортогональности:

Для n-мерного пространства Rⁿ аналогом перпендикулярности является ортогональность.

Два вектора ортоганальны, если:

а₁ˉ=(х₁;х₂;…;х_n) а₂ˉ=(у₁;у_2;…;у_n) , если скалярное произведение равно 0. (х₁у₁+х₂у₂+…+х_nу_n)=0

Нулевой вектор в пространстве Rⁿ ортоганален любому вектору этого пространства.

Система векторов каждый из которых имеет длину равную1 и каждая пара векторов ортогональна называется—ортонормированной системой.

Ортонормированный базис—базис, в котором все векторы единичны и попарно ортоганальны.