Тема 7. Числовые последовательности. Пределы последовательностей и функций
Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Признаки существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Тема 8. Дифференциальное исчисление
Производная функции и дифференциал. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала, приложения производной в экономических расчетах. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Точки экстремума, выпуклость и точки перегиба функции. Асимптоты. Общая схема исследования функций. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Тема 9. Неопределенный и определенный интегралы
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических выражений. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Приложения определенного интеграла.
*Примечание: занятие проводится в форме проблемной лекции, использование техники обратной связи посредством решения вместе со студентами нестандартных задач с подробным разбором особенностей применяемых методик.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Тема 10. Ряды
Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Тема 11. Функции нескольких переменных
Понятия евклидова пространства и функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные функции и полный дифференциал. Производная по направлению, градиент функции. Экстремумы функции многих переменных, необходимое и достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному. Геометрическая интерпретация и приложения двойного интеграла.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Тема 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Основные понятия. Краевая задача и задача Коши. Общие подходы к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
*Примечание: занятие проводится в форме лекции с использованием техники обратной связи посредством решения студентами в конце лекции тестов по лекционному материалу.
Формируемые компетенции: ОК-15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
для очной формы обучения
Семинар 1 (тема 1)
1. Повторение материала темы.
2. Заданы матрицы A и B
, 
Указать, какие операции над матрицами выполнимы, и осуществить эти операции:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
k) Найти матрицу C= 6A-3B и матрицу 
;.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 2 (тема 1)
1. Задана матрица
Найти матрицы 
и 
2. Вычислить определители матриц
, 
, 
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами работы и анализ выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 3 (тема 1)
1. Решить уравнения
=0, 
=0.
2. Найти ранги матриц
, 
, .
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 4 (тема 1)
1. Привести матрицы к ступенчатому виду
2. Найти максимальное число линейно независимых строк матриц, приведенных в п.1.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 5 (тема 1)
1. Найти матрицы, обратные заданным матрицам A и B, построением присоединенной матрицы
, 
, 
2. Найти матрицы, обратные заданным выше матрицам A и B, методом элементарного преобразования строк
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 6 (тема 1)
 |
Заданы матрицы
 |
Найти собственные значения и собственные векторы матриц
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами работы и анализ выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 7 (тема 2)
1. Повторение материала темы.
2. Решить систему уравнений по формулам Крамера
, 
. 
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 8 (тема 2)
Записать систему уравнений из Семинара 7 в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами работы и анализ выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 9 (тема 2)
Решить систему уравнений методом Гаусса
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 10 (тема 2)
Решить систему уравнений из Семинара 9 методом LU- разложения, сравнить трудоемкость вычислительных процедур.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 11 (тема 2)
Решить системы уравнений относительно параметра 
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 12 (тема 2)
Найти общее решение систем уравнений
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективное обсуждение результатов выполненного исследования с анализом выявленных типичных ошибок; проверка знаний в форме тестирования.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 13 (тема 2)
Найти общее решение систем уравнений
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 14 (тема 2)
Найти решение систем уравнений с матрицами специального вида (трехдиагональными). Сравнить прямой метод Гаусса и метод прогонки
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 15 (тема 3)
1. Повторение материала темы.
2. Является ли система векторов 
линейно независимой
а) 
, 
, 
; б) 
, 
, 
.
Если система векторов является линейно независимой, то выразить нижеприведенный вектор 
в базисе данных векторов
.
3. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор трехмерного линейного пространства в вектор 
, причем
, 
.
а) 
, б) 
.
4. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор двумерного линейного пространства в вектор по следующему правилу:
а) Симметричное отображение относительно прямой 
.
б) Симметричное отображение относительно прямой 
, а затем симметричное отображение относительно начала координат.
в) Удвоение значения первой координаты, а затем симметричное отображение относительно прямой .
г) Симметричное отображение относительно прямой , а затем симметричное отображение относительно прямой 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 16 (тема 3)
1. Определить косинус угла между векторами 
и 
, принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом
а) 
, 
; б) , 
.
2. Написать уравнения касательных к параболе 
, проходящих через заданную точку плоскости 
. Составить уравнения нормалей к касательным, построенных в указанной точке 
.
3. Дана прямая 2x+5y-1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-1,3) : а)параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.
4. Через вершины треугольника А(-1,2), В(3,-1) и С(0,4) проведены прямые параллельно противолежащим сторонам. Составить их уравнения.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 17 (тема 3)
1. Две стороны квадрата лежат на прямых 3x+4y+22=0, 3x+4y-13=0. Вычислить площадь квадрата.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x -3y+5=0, 3x+y-7=0 перпендикулярно к прямой y=2x.
3. Найти площадь треугольника, заданного координатами своих вершин А(1,2), В(3,8), С(6,1).
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 18 (тема 3)
1. Составить уравнения плоскости, проходящей через точку М(4, -4, 2) и параллельной плоскостям: x0z., x0y, y0z.
2. Плоскость проходит через ось 0z и образует с плоскостью 2x+y- 
z=0 угол 
. Составить ее уравнение.
3. Найти уравнение нормали, проходящей через начало координат, к плоскости 
. Написать уравнение плоскости в виде уравнения плоскости, проходящей через точку ее пересечения с указанной нормалью.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 19 (тема 4)
1. Повторение материала темы.
2. Заданы комплексные числа
и 
.
а) Найти и изобразить на комплексной плоскости числа
, 
, 
.
б) Записать комплексные числа в тригонометрической и экспоненциальной формах.
Найти и изобразить на комплексной плоскости числа
, , , 
, 
, 
.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 20 (тема 4)
1. Найти все значения 
, 
.
2. Вычислить
, 
, 
.
3. Решить уравнения
, 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 21 (тема 5)
1. Повторение материала темы.
2. Отметить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе неравенств
Сформулировать выводы относительно характера решений
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 22 (тема 5)
В указанной ниже задаче требуется
1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.
2) Найти решение задачи графическим методом.
Автотранспортное предприятие проводит закупку автобусов двух типов А и Б в количестве не более M машин, которые должны обеспечить одновременную перевозку не менее N пассажиров. Стоимость автобуса типа А - 
тыс. рублей, стоимость автобуса типа Б - 
тыс. рублей. Количество пассажиров, которое может разместиться в одном автобусе типов А и Б, равно 
и 
, соответственно. Сколько надо закупить автобусов каждого типа, чтобы минимизировать расходы?
M=20; N = 1500; =800; =300; = 100; =60.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 23 (тема 5)
В указанной ниже задаче требуется
1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.
2) Найти решение задачи графическим методом.
В ходе выборов кандидата для достижения успеха необходимо охватить теле- и радиорекламой не менее N тысяч человек (с повтором). Известно, что одна 30- секундная телереклама будет просмотрена n тысячами избирателей, одна 30- секундная радиореклама будет услышана m тысячами избирателей. Стоимость трансляции одного телефрагмента составляет 500$, а одного радиофрагмента - 100$. Всего планируется занять не менее t минут эфирного времени. Сколько теле- и радиофрагментов следует транслировать, чтобы минимизировать расходы.
N=720, n=24, m=4, t=40.
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами и анализ выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 24 (тема 5)
В указанной ниже задаче требуется
1) Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.
2) Найти решение задачи графическим методом.
При откорме кроликов можно использовать корм с высоким содержанием белка по цене 0.8 у.ед./кг или более дешевый корм по цене 0.4 у.ед./кг. Килограмм дорогого корма дает 125 г белка и 4500 калорий, а дешевого – 50 г белка и 7500 калорий. Одному кролику в неделю требуется не менее 100 г белка и 4500 калорий. Найти самую дешевую смесь кормов, удовлетворяющих требованиям питательности.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 25 (тема 5)
Сформулирована следующая транспортная задача линейного программирования.
Пусть имеется:
- три пункта отправления – города 
, в которых сосредоточены запасы некоторого товара соответственно в количестве 
;
- три пункта назначения – города 
, в которых сосредоточены потребители товара, желающие получить его в количестве 
;
- сумма заявок всех городов – потребителей товара равна суммарному количеству товара, имеющегося в городах – поставщиках товара, т.е.
.
- известна стоимость перевозки одной единицы товара из пункта отправления 
в пункт назначения 
, т.е. задана матрица стоимостей перевозок
Требуется составить такой план перевозок, при котором весь имеющийся запас товара будет вывезен из городов- поставщиков товара, все заявки городов – потребителей удовлетворены, а стоимость перевозок всего товара, который перевозится от поставщиков к потребителям, будет минимальной.
Дать математическую формулировку задачи.
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по тематике занятия; коллективный обмен результатами и анализ выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 26 (тема 5)
Для задач семинаров 22-25 построить двойственную задачу. Выяснить содержательную сторону сформулированных задач.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 27 (тема 6)
1. Повторение материала темы.
2. Определить области существования и области значений следующих функций:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д); 
е) 
; ж) 
.
3. На какое множество 
отображает множество 
функция 
а) 
; б) 
в) 
; г) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 28 (тема 6)
1. Пусть функция 
определена при 
. Найти область определения функций
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Найти:
а) 
, если 
; б) 
, если 
;
г) , если 
.
3. Построить графики функций
а) 
, 
; б) 
, приведя ее к виду 
;
в) 
- трезубец Ньютона; г) 
- кривая Аньези.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 29 (тема 7)
1. Повторение материала темы.
2. Вычислить пределы
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 30 (тема 7)
1. Вычислить пределы
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 31 (тема 8)
1. Повторение материала темы.
2. Найти первую и вторую производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 32 (тема 8)
Найти первую и вторую производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 33 (тема 8)
Написать уравнение касательной и нормали к графику функции 
в заданной точке 
а) 
, 
; б) 
, 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 34 (тема 8)
Написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через заданную точку
а) 
, 
; б) 
, 
;
в) 
, 
;
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 35 (тема 8)
Исследовать функции и построить их графики
а) 
; б) 
.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 36 (тема 8)
Исследовать функции и построить их графики
а) 
; б) 
; в); 
.
Формируемые компетенции: ОК-13, ПК- 5.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 37 (тема 9)
1. Повторение материала темы.
2. Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
;
е) 
; ж) 
.
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 38 (тема 9)
Найти неопределенные интегралы методом замены переменной
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 39(тема 9)
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
*Примечание: занятие проводится в форме организационно-деятельностной игры с разбиением группы на подгруппы и постановкой для 2-3-х подгрупп одинаковой задачи с последующим выбором в ходе коллективного обсуждения оптимального способа решения.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 40 (тема 9)
Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей
а) 
; б) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 41 (тема 9)
Найти площади фигур, ограниченных следующими кривыми
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) ; е) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 42 (тема 9)
Вычислить несобственные интегралы
а) 
; б) 
; в) 
,
г) 
; д) 
; е) 
.
*Примечание: занятие проводится в форме исследования с образованием несколько подгрупп для решения задач по заданной тематике; коллективное обсуждение результатов с анализом выявленных типичных ошибок.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 43 (тема 10)
1. Повторение материала темы.
2. Доказать непосредственно сходимость рядов и найти их суммы
а) 
б) 
3. Исследовать сходимость знакопостоянного числового ряда
а) 
; б) 
; в) 
;
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 44 (тема 10)
1. Исследовать сходимость знакопостоянного числового ряда
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
2. Исследовать сходимость знакочередующегося числового ряда
а) 
; б) 
; в) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 45 (тема 10)
1. Найти область сходимости степенного ряда
а) 
; б) 
; в) 
.
2. Разложить функции в ряд Маклорена и найти радиус сходимости ряда
а) 
; б) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 46 (тема 11)
1. Повторение материала темы.
2. Найти частные производные функций двух переменных
а) 
; б) 
; в) 
.
Формируемые компетенции: ОК- 15, ОК-17, ПК-31, ПК-32, ПК-33.
Семинар 47 (тема 11)
1. Полагая, что произвольная функция 
дифференцируема, проверить следующие равенства:
а) 
; б) 
.
4. Найти величину и направление градиента функции в точке 
а) 
; б) 
.