Необходимые и достаточные условия сходимости ряда

Теория рядов.

Лекция №1.

Числовой ряд, сходимость, сумма. Основные свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости числовых рядов.

Повторить: 1. понятие числовой последовательности;

2. арифметическую и геометрическую прогрессии;

3. технику вычисления пределов;

4. факториал;

5. сходимость несобственного интеграла.

Основные определения

Пусть дана последовательность , где индексы 1,2,3…п показывают место членов последовательности.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности

называется рядом.

(1)

При этом числа будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Если - числа, то ряд называют числовым.

Если - функции, то ряд называют функциональным.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются

частными (частичными) суммамиряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, … ,S_n, …

Пример 1

Записать первые три члена ряда

На практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Пример 2.

Записать первые три члена ряда

подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , .

Ответ оставим в виде

Пример 3.

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:

Пример 4.

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Пример 5.

Записать первые три члена ряда

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

Определение. Ряд называется сходящимся, если

сходится последовательность его частных сумм. Сумма

сходящегося ряда – предел последовательности его частных

сумм.

(2)

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е.

не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд

называется расходящимся и ему не ставят в соответствие

никакой суммы.

· Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале лекции: .

Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.

· В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести

бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы: . Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии. В данном случае: , . Таким образом: . Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Свойства рядов

1 свойство: Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2 свойство: Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

3 свойство: Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

Пусть сумма сходящего числового ряда равна S.

4 свойство: Если в ряде (1) отбросить n членов, то получим ряд , который называется n-ым остатком ряда и обозначается . Разность между суммой ряда S и его частичной суммой называется остатком ряда и обозначается = S - .Если ряд сходится, то остаток равен 0.

Необходимые и достаточные условия сходимости ряда