Исследование функции методами дифференциального исчисления
Вводная часть
1. Множества, операции над ними. Числовые множества, логические символы.
2. Координаты на прямой, плоскости, в пространстве. Полярная система координат.
Линейная алгебра
1. Матрицы, действия над ними.
2. Определители, их свойства, вычисление.
3. Обратная матрица.
4. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера.
5. Ранг матрицы , определение и вычисление, эквивалентные матрицы.
6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. СПЕЦИАЛЬНО ДЛЯ КОЛЮНИТеорема Кронекера-Капелли, её следствия, исследование совместности систем и их решение.
7. Метод Гаусса.
8. Однородные системы уравнений, их решение.
9. Линейные отображения, преобразование координат.
10. Собственные векторы и собственные значения.
Векторная алгебра
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейное пространство.
2. Проекция вектора на ось, её свойства.
3. Линейная зависимость векторов. Теорема о разложении вектора в пространстве, следствия. Базис на плоскости и в пространстве.
4. Разложение вектора в декартовом базисе. Операции над векторами, заданными координатами. Модуль вектора, направляющие косинусы. Условия коллинеарности векторов.
5. Деление отрезка в данном отношении, частный случай(деление отрезка пополам)
6. Скалярное произведение векторов, свойства.
7. Векторное произведение векторов, свойства.
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение прямой, его исследование.
2. Каноническое уравнения прямой, уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Пучок прямых.
3. Уравнение прямой, проходящей через данные точки.
4. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
5. Кривые второго порядка. Окружность
6. Эллипс. Определение, вывод канонического уравнения, эксцентриситет, график.
7. Гипербола Определение, вывод канонического уравнения, эксцентриситет, график, асимптоты.
8. Парабола. Определение, вывод канонического уравнения, различные виды парабол, их графики.
9. Параллельный перенос осей координат. Уравнения y-b=+/-2p(x-a)2; x-a=+/-2p(y-b)2; y=ax2+bx+c графики этих парабол
10. Поворот осей координат. Общий случай преобразования координат. Уравнение равносторонней гиперболы относительно асимптот.
11. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Связка плоскостей.
12. Общее уравнение плоскости, его исследование.
13. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол между плоскостями.
14. Прямая в пространстве, канонические и параметрические уравнения, общие уравнения, уравнение через 2 точки.
Введение в математический анализ.
1. Понятие функции, способы задания. Обратная функция. Основные элементарные функции. Абсолютная величина, свойства.
2. Переменная величина, упорядоченная переменная, числовая последовательность. Предел упорядоченной переменной, геометрический смысл.
3. Следствия из определения предела. Ограниченная переменная, теорема.
4. Бесконечно малая величина. Леммы о б.м.
5. Теорема о связи предела с б.м.(прямая и обратная). Три эквивалентных записи предела переменной.
6. Бесконечно большие величины. Связь б.б. и б.м.
7. Теоремы о пределах.
8. Предел функции. Односторонние пределы. Предел при х->бесконечности. Бесконечный предел функции.
9. Различные виды неопределенностей и их раскрытие.
10. Первый замечательный предел.
11. Второй замечательный предел.
12. Классификация б.м.
13. Непрерывность функции . Свойства функций, непрерывных в точке.
14. Разрывы функций. Сложная функция, её непрерывность. Непрерывность элементарной функции.
15. Свойства функции, непрерывных на отрезке(теорема Больцано-Коши+теоремы Вейерштрасса)
Производная и дифференциал.
1. Определение производной. Необходимое условие существования производной.
2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали. Механический смысл производной.
3. Производные у=с; у=х; y=sinx; y=cosx.
4. Основные правила дифференцирования(производные суммы, разности, произведения, частного)
5. Производные y=lnx; y=tgx; y=ctgx.
6. Производные сложной функции. Производные y=xn ; y=ax; y=logax.
7. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
8. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
9. Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл кторой производной.
10. Теорема Ферма.
11. Теорема Ролля.
12. Теорема Лагранжа.
13. Теорема Коши.
14. Правило Лопиталя.
15. Параметрическое задание функций, их дифференцирование. Дифференцирование неявных функций. Теорема Тейлора.
Исследование функции методами дифференциального исчисления.
1. Необходимые(+достаточные) условия возрастания и убывания функции.
2. Экстремумы функции. Необходимые(+достаточные) условия существования экстремума.
3. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Теорема.
5. Точка перегиба. Необходимый и достаточный признак сущ. точки перегиба.
6. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функции и построения её графика.
Примечание
Все теоремы, свойства, формулы, которые были доказаны или требовалось доказать самостоятельно или доказательство аналогично, на экзамене необходимо так же доказывать.