Точки разрыва функции и их классификация
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную в окрестности точки
, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что
является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Заметим, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел функции в точке
при
справа существует и равен значению функции в этой точке, то функция называется непрерывной справа в точке
. Обозначение:
.
![]() |
Если односторонний предел функции в точке
при
слева существует и равен значению функции в этой точке, то функция называется непрерывной слева в точке
. Обозначение:
..
![]() |
Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва функции
, если в этой точке функция
имеет конечные, равные друг другу левый и правый пределы, не равные значению функции в точке
:
.
При этом в самой точке функция
может быть и не определена. Если доопрпеделить значение функции
в точке
положив его равным
, то функция
будет непрерывной в точке
Определение. Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции
, если в этой точке функция
имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
.
Определение. Точка называется точкой разрыва 2 – го рода функции
, если один из односторонних пределов функции
в этой точке либо не существует либо равен бесконечности.
Пример. Функция Дирихле
не является непрерывной в любой точке .
Пример. Функция имеет в точке
точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.
Пример. .
Функция не определена в точке , но имеет в ней конечный предел
, т.е. точка
является точкой устранимого разрыва функции
. Если доопределить функцию в точке
:
то функция будет непрерывной на всей числовой оси. График этой функции:
Пример. =
.
y
0 x
-1
Эта функция обозначается как – знак числа
. В точке
функция не определена. Так как левый и правый пределы функции различны, то
-и точка разрыва 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке
, положив
, то функция будет непрерывна справа, если положить
, то функция будет непрерывной слева, если положить
равное произвольному числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа. В этом случае будет иметь в точке
разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Определение. Функция называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в каждой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.