Действия над матрицами

Билет

Понятие матрицы

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

- множество всех матриц размера m на n;

- матрица A с элементами в позиции (i,j);

- матрица размера m на n.

Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

2 билет

Действия над матрицами

1. Суммой двух матриц является матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц. Складывать можно только матрица одинаковой размерности.

Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному закону.

2. Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число следует каждый элемент матрицы умножить на это число.

3. Перемножение матриц

Элемент матрицы-произведения, находящегося на пересечении i-ой строки и j – столбца представляет собой сумму парных произведений элементов i- строки первой матрицы на элементы j – столбца второй матрицы.

Матрицы перемножаются только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Подробнее о перемножении матриц смотрите в видео уроке.

Разностью матриц и одного и того же размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице матрицы , умноженной на (-1).

3 билет

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = λaij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Эквивалентные матрицы
Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены одна из другой с помощью элементарных преобразований, а именно: 1) перестановкой местами двух строк матрицы; 2) умножением всех элементов строки на число, отличное от нуля; 3) сложением двух строк.

4 билет

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Минор k -го порядка матрицы (от лат. minor – меньший) – определитель матрицы, составленный из элементов данной матрицы, стоящих на пересечении произвольно выделенных ее k строк и k столбцов с сохранением их порядка, т.е. минор k-го порядка есть определитель квадратной матрицы размера k x k.

Каждая n x m матрица имеет миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются элементы матрицы. Если номера строк, в которых расположен минор, совпадают с номерами столбцов, то он называется главным минором.

Базисный минор матрицы – отличный от нуля минор k-го порядка этой матрицы такой, что все содержащие его миноры (k+1)-го порядка равны нулю, или же минор (k+1)-го порядка не существует. Порядок любого базисного минора матрицы совпадает с рангом матрицы, причем каждый столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация линейно независимых столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

В квадратной матрице n-го порядка дополнительным минором к минору k-го порядка называется определитель (n-k)-го порядка, полученный из данной матрицы вычеркиванием тех k столбцов и строк, в которых расположен минор k-го порядка.

Алгебраическое дополнение АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ [co-factor] — понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (–1)i+j (обозначается Аij): Aij = (–1)i+j Mij, где Mij — минор элемента aij матрицы A=[aij], т. е. определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij. Понятие А. д. используется, в частности, в операции обращения матрицы.

5 билет