Построение статической модели динамики объекта управления

Поведение объекта управления в динамике можно описать непрерывным дифференциальным уравнением

,

где - выходной и входной сигналы объекта; D – дифференциальный оператор, равный ; - неизвестные параметры; t - время запаздывания.

Для дискретных сигналов связь между входным Х(t) и выходным Y(t) сигналами в момент времени t=0, 1, 2… описывается разностным уравнением

. (25)

Линейную модель (25) можно эквивалентным образом описать с помощью оператора сдвига назад путем замены , в ходе преобразований получим:

. (26)

Другими словами выход Y_t и вход X_t связаны линейным фильтром:

,

где v₀, v₁ – дискретная функция отклика на единичный импульс.

Теперь рассмотрим решение задачи идентификации или нахождение коэффициентов d_I и w_j модели (26). Пусть известны вход X_t и выход Y_t объекта.

Полагаем, что входной процесс X_t описывается моделью авторегрессии третьего порядка:

. (27)

Опишем последовательность нахождения Ф_i , i=1, 2, 3 в уравнении авторегрессии третьего порядка (27), представленной в виде

. (28)

Умножим (28) на X_t-k и перейдя к математическим ожиданиям величин, получим разностное уравнение

. (29)

Отметим, что , а поскольку импульсы не коррелируются с . Параметр называется автоковариацией с задержкой К и вычисляется по формуле:

, К=0, -1, -2… (30)

Введем коэффициент корреляции

. (31)

Разделив левую и правую часть уравнения (30) на , получим:

;

;

. (32)

Зная , , , систему уравнений (32) легко разрешить относительно Ф_i, i=1, 2, 3.

Теперь перейдем к определению дискретной весовой функции: v₀, v₁, ...v_K , для этого определим коэффициент взаимной ковариации

(33)

Коэффициент взаимной корреляции:

.

С помощью рядов (28) вычислим G_a, G_b, a_t и B_t, t=0, 1, 2,…n. Затем, умножая обе части уравнения (28) на B_t+k, G_b и разделив на G_a и G_b получим коэффициент взаимной корреляции

, причем .

Оценки весовой функции вычисляются по формуле

, К=0, 1, 2,…10.

Если окажется, что оценки малы по сравнению с , то это значит запаздывание равно B. Для модели (26) оценки d_I и определяются следующим образом:

,

,

.

Из последних двух уравнений вычисляются оценки и , которые при подставке в третье и четвертое уравнения позволяют определить оценки .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. Математическое описание процессов. – М.: Химия, 1973. – 224 с.

2 Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов по спец. «Автоматизированные системы управления». – М.: Высш. шк., 2001. – 271 с.: ил.

3 Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. пособие – Мн.: Дизайн ПРО, 1997,- 288 с.:ил.

4 Кузичкин Н.В. и др. Методы и средства автоматизированного расчета химико-технологических систем.: Учеб. пособие для вузов – Л.: Химия, 1987. – 152 с.

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОТРАСЛЬЮ»

для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 53 01 01 - «Автоматизация технологических

процессов и производств»

Составитель к.т.н., Иванова Ирина Дмитриевна

Редактор Бажанова Т.Л.

Технический редактор Щербакова А.А

___________

Подписано в печать_____________ Формат 60х84 1/16

Печать офсетная. Усл. печ. л.___________ Уч.-изд. л.______

Тираж ______экз.______Заказ_________ Бесплатно

Лицензия № 226 от 12.02.2003 г.

___________

Отпечатано на ризографе МГУП

212027, г. Могилев, пр-кт Шмидта, 3.