Основные типы распределений НСВ

1) Равномерный закон распределения.

НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне его:

Обозначение: X R(a;b).

Проверим условие нормировки:

Функция распределения:

1) ≤ a , тогда .

2) a < x ≤ b, тогда .

3) x > b, тогда

Таким образом:

f(x):

F(x):

Вероятность попадания в интервал (α;β) :

Математическое ожидание:

= .

Таким образом,

Дисперсия:

Можно показать (самостоятельно), что

Среднее квадратическое отклонение:

= , тогда

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания.

Пример:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не больше полминуты? Найти числовые характеристики случайной величины Х - времени ожидания поезда.

P(0 ≤ X ≤0,5) = .

2) Показательный закон распределения (экспоненциальный).

НСВ Х имеет показательный закон распределения с параметром λ > 0, если её плотность вероятности:

Обозначение: Х

Проверим условие нормировки:

Функция распределения:

1) x < 0, тогда F(x)= .

2) x ≥ 0, тогда

Таким образом,

f(x)

F(x)

Вероятность попадания в интервал (α;β) :

P( ) = .

Математическое ожидание:

Можно показать (самостоятельно), что

Дисперсия:

Можно показать, что

Среднее квадратическое отклонение:

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, по показательному закону распределены следующие случайные величины: длительность телефонного разговора, срок безотказной работы прибора, продолжительность жизни атома радиоактивного вещества.

Пример:

Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина, распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения, среднее квадратическое отклонение.

=15, следовательно, λ= .

P(

Тогда,

= =15.

3) Нормальный закон распределения.

НСВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m, σ, если на всей числовой оси её плотность вероятности:

Обозначение: X

Проверим условие нормировки:

=

= =1, так как, (интеграл Пуассона).

Функция распределения:

Можно показать, что

где - функция Лапласа.

f(x)

F(x)

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания в интервал:

Правило «трёх сигм».

Практически достоверное событие, что значения случайной величины, нормально распределенной с параметрами m и заключены в интервале (m-3σ; m+3σ).

Пример:

Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть случайная величина X . Найти , , долю костюмов 4-го роста (176; 182см), которую нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

X тогда

, .

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. С помощью нормального закона получен ряд важных распределений (логарифмически-нормальное, хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера-Снедекора).

Закон больших чисел.

Под законом больших чисел понимают устойчивость средних: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Теорема 1 (неравенство Маркова). Пусть Х – случайная величина, для которой существует математическое ожидание. Если P(X<0)=0, то

P(X≥1) ≤ M(X)

Доказательство.

По условию P(X<0)=0, следовательно, случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения.

1) Пусть Х – дискретная случайная величина. Тогда

P(X≥1)=

2) Пусть Х – непрерывная случайная величина. Тогда

P(X≥1)=

Пример.

Оценить вероятность того, что при 3600 независимых бросаниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.

p= , n=3600, M(X)=n∙p=3600∙ =600

P(X ≥900)=P(

Используем неравенство Маркова и свойство математического ожидания

P( ≤ M( )=

Теорема 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х), и для любого положительного числа справедливо неравенство:

Доказательство.

Событие равносильно или

По теореме 1 получим:

Замечание. Перейдя к противоположному событию, неравенство Чебышева можно записать в виде: .

Пример.

Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,5. Оценить вероятность того, что число появлений события А будет заключено от 40 до 60 в 100 независимых испытаниях.

Теорема 3 (теорема Чебышева). Если случайные величины :

1) попарно независимы;

2) имеют математические ожидания ;

3) имеют дисперсии , ограниченные в совокупности (то есть для любого k от 1 до n выполняется );

то для любого положительного числа выполняется:

или
.

Доказательство.

Рассмотрим случайную величину .

;

Воспользуемся неравенством Чебышева:

(стремится к 0 при )

или

Замечание. Если выполнены условия теоремы Чебышева, то говорят, что при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий:

Теорема 4(теорема Хинчина). Если случайные величины :

1) попарно независимы;

2) одинаково распределены;

3) имеют математическое ожидание m; то

(без доказательства)

Смысл можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую величину A. В результате неизбежных ошибок при измерении результат измерения будет случайной величиной. Пусть - результат k-го измерения. Тогда и - независимые случайные величины. Среднее арифметическое также есть случайная величина, однако с увеличением числа измерений эта величина стабилизируется, приближаясь к A. Этим оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ многократного измерения (семь раз отмерь – один раз отрежь).

Теорема 5 (теорема Бернулли). Частота события A в n независимых испытаниях сходится по вероятности к вероятности наступления события А в одном испытании:

(без доказательства)

Теорема Бернулли обосновывает статистическое определение вероятности.

Рассмотренные теоремы (закон больших чисел) устанавливают факт приближения средних большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к нормальному закону распределения.