Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей
Вопросы к экзамену по математическому анализу (первый семестр).
1. Числовая последовательность. Операции над последовательностями.
a. Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество
:
Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что
, то есть
и так далее до нужного члена.
2. Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности (доказательство).
Если у последовательности существует конечный предел
, то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при
). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число
, что для любого номера
,
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число
, что для любого номера
,
Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число
, что для любого номера
,
Последовательность называется неограниченной, если существует такое число
, что существует такой номер
, что
Число называется пределом последовательности
и обозначается
,
Число называется пределом последовательности
, если для любого
существует номер
такой, что для любого
выполняется неравенство
:
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого
существует номер
такой, что для любого
выполняется неравенство:
Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого
существует номер
такой, что для любого
выполняется неравенство:
Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей
1° Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.
2° Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.
3° Если - б.м.п., то
- ограниченная последовательность.
4° Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.
5° Если - б.м.п. и
, то
, т.е.
6° Если - б.м.п. и
, то последовательность
- б.б.п.
7° Если - б.б.п., то
и последовательность
- б.м.п.
4. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Основные свойства пределов числовых функций.
Пусть задано некоторое числовое множество и каждому
поставлено в соответствие число
, тогда говорят, что на множестве
задана функция
,
.