Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса
Пусть задано векторное поле
Определение |
Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:
На этот раз векторное поле порождает скалярное поле
.
С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме:
т. е. поток векторного поля
через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.
На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V
0 ), имеем:
То есть есть предел отношения потока поля
через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.
Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.
Если П < 0, то внутри области V есть стоки.
Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т. е. приП ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.
Для характеристики точки можно использовать .
Если > 0, то данная точка есть источник,если
< 0 - то сток.
Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона
в следующем виде:
Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):
*********************************
21.Криволинейный интеграл первого рода, его свойства.
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна скалярная функция
f (x, y, z).
Выполним следующие действия:
1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn.
Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг.
Понятно, что при λn → 0 автоматически n → ∞;
2) выберем произвольным образом точки ;
3)составим интегральную сумму вида , здесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг.
Определение |
Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi) ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x,y,z) по дуге АВ и обозначается
Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
Например: |
1) при - длина дуги АВ;
2) если функцию f(x,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги АВ, то - масса дуги АВ.
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е.
Отметим условия существования интеграла (3.1).
Теорема |
Если дуга АВ гладкая и функция f(x,y,z) непрерывна на ней, то интеграл (3.1) существует.
Можно сформулировать и значительно более сильную теорему об условиях существования интеграла (3.1).
********************