Нестационарные интегрируемые процессы

ЛЕКЦИЯ 12. Модель ARIMA

Прогнозирование ARMA-процессов

AR-процессы

Рассмотрим стационарную AR-модель

Yt = α0 + α1Yt–1 + α2Yt–2+…+ αpYtp + εt. (1)

Предположим, что прогноз ŶТ(h) строится на h шагов вперед, начиная с момента времени Т. Запишем уравнение (1) для момента времени T+h

YT+h = α0 + α1YT+h–1 + α2YT+h–2 +…+ αpYT+h–p + εT+h. (2)

При расчете прогнозного значения ŶТ(h) в правую часть (2) вместо YT+i (i > 0) следует подставлять вычисленное ранее прогнозное значение ŶТ(i). Тогда точечный прогноз будет определяться соотношениями:

ŶТ(1) = α0 + α1YТ + α2YТ–1 +…+ αpYТ–p+1,

ŶТ(2) = α0 + α1ŶТ(1) + α2YТ +…+ αpYТ–p+2, …… (3)

ŶТ(p) = α0 + α1ŶТ(p–1) + α2ŶТ(p–2) +…+ αp–1ŶТ(1) + αpYТ ,

ŶТ(h) = α0 + α1ŶТ(h–1) + α2ŶТ(h–2) +…+ αpŶТ(h–p+1) при h > p.

Доказано, что в бесконечном периоде математическое ожидание прогнозного значения ŶТ асимптотически сходится к математическому ожиданию процесса Yt, т. е. условное математическое ожидание ошибки прогноза равно нулю и оценка ŶТ(h) является несмещенной, а дисперсия прогноза сходится к дисперсии процесса Yt, т. е. к Нестационарные интегрируемые процессы - student2.ru

Для модели AR(2)

Yt = α0 + α1Yt-1 + α2Yt-2+ εt

формулы прогнозирования имеют вид:

ŶТ(1) = α0 + α1YТ + α2Yt–1,

ŶТ(2) = α0 + α1ŶТŶТ(1) + α2Yt, (4)

ŶТ(h) = α0 + α1ŶТ(h–1) + α2ŶТ(h–2) при h ≥ 3.

MA-процессы

Рассмотрим теперь стационарную MA-модель

Yt = εt – β1εt–1– β2εt–2 –…– βqεt–q. (5)

С учетом того, что величина εt для прогнозируемых моментов времени не известна точечный прогноз согласно модели (5) будет определяться соотношениями:

ŶТ(1) = – β1·εТ – β2·εТ–1 – … – βq·εТ–q+1,

ŶТ(2) = – β2·εТ – … – βq·εТ-q+2,

…… (6)

ŶТ(q) = – βq·εТ,

ŶТ(h) = 0 при h > q.

Дисперсия ошибки прогноза определяется соотношениями

var(eT(1)) = σ2ε;

var(eT(2)) = σ2ε (1+ β21);

…… (7)

var(eT(q-1)) = σ2ε(1+ β21+…+ β2q-1);

var(eT(q)) = σ2ε(1+ β21+…+ β2q) = σ2Y для h > q.

Для процесса MA(2)

Yt = εt – β1εt–1 – β2εt–2

формулы для прогнозирования имеют вид

ŶТ(1) = – β1·εТ – β2·εТ–1

ŶТ(2) = – β2·εТ (8)

ŶТ(h) = 0 при h ≥ 3,

а дисперсии ошибки прогноза:

var(eT(1)) = σ2ε;

var(eT(2)) = σ2ε(1+ β21);

var(eT(h))= σ2ε(1+ β21+ β22) =σ2Y для h ≥ 3.

ARMA-процессы

Формулы прогнозирования для процессов ARMA(p,q) получаются объединением формул (3) и (6).

Для модели ARMA (1,1)

Yt = α0 + α1Yt-1 – β1 ·εt-1

формулы для прогнозирования имеют вид:

ŶТ(+1) = α0 + α1YТ - β1 ·εT

ŶТ(+h) = α0 + α1ŶТ(+h-1) при h ≥ 2. (9)

При прогнозировании на практике реальные параметры ARMA-процесса ak и bj заменяются их оценками Нестационарные интегрируемые процессы - student2.ru , а случайные воздействия εt заменяются на остатки Нестационарные интегрируемые процессы - student2.ru , полученные при оценивании модели, или на ошибки eT+h-–i предыдущих прогнозов.

Отметим, что ошибка прогноза данных ARMA-моделей ограничена на бесконечности дисперсией процесса σх.

Нестационарные интегрируемые процессы

Признаком нестационарного стохастического процесса является нарушение одного из условий стационарности:

μt = μ =const;

σ2t = σ2 = const;

Нестационарные интегрируемые процессы - student2.ru .

Конкретная реализация нестационарного стохастического процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Заметим, что, как правило, значения, характеризующие изменение экономических показателей во времени, образуют нестационарные временные ряды.

Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка, определяемый моделью

Yt = α0 + α1·Yt–1 + εt, (10)

где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0. При | α1| < 1 случайный процесс Yt будет стационарным. Процесс, определяемый соотношением (6.39) при α1 = 1

Yt = Yt–1 + εt. (11)

является нестационарным и называется «случайным блужданием». Такие нестационарные процессы называют процессами единичного корня.

Среднее процесса Yt постоянно E(Yt) = Е(Yt–1)+ E(εt) = μ = const, а дисперсия var(Yt) = tσ2 неограниченно возрастает с течением времени. Первые разности Yt являются «белым шумом» εt и стационарны:

∆Yt = Yt – Yt–1 = εt.

Как показывает практика, рассматриваемые в эконометрических исследованиях нестационарные временные ряды чаще всего относятся именно к этому типу и проблема выявления нестационарности временного ряда сводится к проверке α1 = 1 в модели (10). Соответствующие тесты называются «тестами единичного корня».

Наши рекомендации