Дифференциальное и интегральное исчисление

Студент должен:

знать:

· определение предела функции в точке;

· свойства предела функции в точке;

· формулы замечательных пределов;

· определение непрерывности функции в точке,

· свойства непрерывных функций;

· определение производной, ее геометрический и физический смысл; табличные производные, правила дифференцирования;

· правило вычисления производной сложной функции; определение дифференциала функции, его свойства; определение производных и дифференциалов высших порядков; определение экстремума функции, выпуклой функции, точек пере­гиба, асимптот;

· определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для неопределенного интеграла;

· определение определенного интеграла, его свойства, основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для определенного интеграла;

· геометрический смысл определенного интеграла, приложения оп­ределенного интеграла.

уметь:

· вычислять пределы последовательностей и функций; раскрывать неопределённости;

· вычислять производные сложных функций, производные и диффе­ренциалы высших порядков;

· находить экстремумы и точки перегиба функций;

· проводить исследование функций с помощью производных и стро­ить их графики.

· вычислять неопределенные и определенные интегралы методом замены переменной и по частям;

· интегрировать рациональные, иррациональные и некоторые триго­нометрические функции, применять универсальную подстановку; применять определенный интеграл для нахождения площадей плоских фигур.

Предел функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Предел суммы, произведения и частного двух функций. Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных и сложных функций. Замечательные пределы.

Определение производной функции. Производные основных элементар­ных функций. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производная сложной функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Возрастание и убывание функций, условия возрастания и убывания. Экстремумы функ­ций, необходимое условие существования экстремума. Нахождение экс­тремумов с помощью первой производной. Выпуклые функции. Точки пе­региба. Асимптоты. Полное исследование функции.

Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка.

Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрально­го исчисления. Интегрирование заменой переменной и по частям в опреде­ленном интеграле. Приложения определенного интеграла.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Студент должен:

знать:

· определение обыкновенного дифференциального уравнения, обще­го и частного решения, геометрическое представление решений;

уметь:

· решать обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные и линей­ные неоднородные;

· решать линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го по­рядка с постоянными коэффициентами и уравнения.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделёнными и разделяющимися перемен­ными. Однородные уравнения 1-го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные однородные и неоднородные уравнения 1-го по­рядка.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неод­нородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Студент должен:

знать:

· методы решения простейших дифференциальных уравнений с частными производными;

· методы решения дифференциальных уравнений первого порядка линейных относительно частных производных.

уметь:

· решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

· решать дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных.

Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения, линейные относительно частных производных.

Ряды.

Студент должен:

знать:

· определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов; признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак положительных рядов;

· определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница; определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов;

· определение функциональных последовательностей и рядов, опре­деление степенного ряда, радиуса и области сходимости;

· определение ряда Тейлора, формулы разложения элементарных функций.

уметь:

· исследовать на сходимость положительные ряды;

· исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ря­ды;

· вычислять радиус сходимости степенного ряда, исследовать пове­дение степенного ряда на концах интервала сходимости.

Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов. Признаки сравнения положи­тельных рядов. Признаки Даламбера и Коши, интегральный признак схо­димости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и ус­ловная сходимость.

Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных ря­дов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд.