Оценивание состояния системы с неопределенными нелинейностями и внешними неопределенными ограниченными возмущениями
Оценивание состояния системы (3.1) с нелинейностями из (3.2) и неопределенными возмущениями из (1.5) будет осуществляться в виде эволюционирующего инвариантного эллипсоида, матрица которого будет определяться по частному решению матричной системы сравнения или дифференциальных линейных матричных неравенств.
Теорема 3.1. Эллипсоид , где
есть решение матричной системы дифференциальных уравнений
(3.3)
является инвариантным для траекторий системы (3.1), стартующих из начального эллипсоида .
Доказательство теоремы 3.1. Определим функцию ,
. Для любого
имеет место
. Для того чтобы траектории x(t)=
системы (3.1) не покидали эллипсоид
, достаточно потребовать, чтобы при
, при всех допустимых внешних возмущениях из (1.5) и при нелинейностях
из (3.2) выполнялось
,
где - производная функции
в силу системы (3.1). Вычислим
.
Далее, используя очевидное неравенство
,
справедливое для любых векторов и любого скаляра или любой непрерывной функции времени
, получаем
,
где - скаляры или непрерывные функции времени. С учетом ограничений на нелинейности (3.2) и внешние возмущения (1.5), а также предположения
отсюда имеем:
при условии и
. Последнее неравенство записывается в виде
. Тогда можно выбрать
.
Будем определять матрицу Q(t) из матричного дифференциального уравнения
,
где .
Умножая это уравнение слева и справа на матрицу Q(t)>0, вводя обозначение и учитывая, что
, приходим к уравнению (3.3). Теорема доказана.
Теорема 3.2. Эллипсоид является инвариантным для решений системы (3.1) , если его матрица
удовлетворяет дифференциальным линейным матричным неравенствам (ДЛМН)
. (3.4)
при всех и некоторых
.
Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 3.1, только определять матрицу Q(t) будем не из уравнения (3.3) а из дифференциального матричного неравенства
, (3.5)
где ,
. Воспользовавшись леммой дополнения Шура, из (3.5) имеем
Еще дважды воспользовавшись леммой дополнения Шура, приходим к ДЛМН (3.4).
Следует отметить, что в автономной линейной системе инвариантный эллипсоид с постоянной матрицей Q*, определяемой на основе решения алгебраического уравнения Ляпунова (или разрешимости ЛМН, полученных из (3.4) при dQ/dt=0) будет являться притягивающим, т.е. множеством, к которому будут стремиться все решения с любыми начальными данными и при внешних возмущениях, удовлетворяющих (1.5). В нелинейной автономной системе инвариантный эллипсоид будет притягивающим только для решений, с начальными данными, принадлежащими области притяжения некоторого предельного множества, которое будет принадлежать указанному инвариантному эллипсоиду.
Замечание 3.1. Матричная система дифференциальных уравнений (3.3) является матричной системой сравнения (МСС) для исходной нелинейной системы с неопределенными возмущениями, так как правая часть ее удовлетворяет условию квазимонотонности по Q относительно конуса G+. Поэтому она обладает следующими свойствами:
1). Положительность решений – если (или
), то
(соответственно
) для всех
.
2) Монотонность решений – для любых таких, что
имеет место
для всех
.
В автономном случае – свойствами:
3) Инвариантность множества , где
: множество
в пространстве матриц G+ положительно инвариантно для решений
МСС с
. Кроме того, найдется
такое, что имеет место
.
4) Сходимость решений: если матрица A+BK является гурвицевой, т.е удовлетворяет условию , где
- собственные значения матрицы замкнутой системы, а параметр q удовлетворяет условию
, то существует предел
, к которому сходятся решения
но не для любых
, как было в случае линейных систем, а только для некоторых
. В этом случает матрица
будет определять предельный инвариантный эллипсоид для решений исходной системы (1.4) с неопределенными возмущениями из (1.5).
Замечание 3.2. Указанные свойства имеют место для любой автономной системы с неопределенными нелинейностями из (3.2) и неопределенными ограниченными возмущениями из (1.5). Так же как в случае линейных систем, они позволяю контролировать процесс получения гарантированных оценок при вычислениях.