Метод конформного отображения

Поле, зависящее только от двух декартовых координат (х, у), называют плоским. Мощным средством для решения плоских задач электростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории заключаются в следующем.

Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям: Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно Второе же уравнение показывает, что наряду с можно ввести также и «векторный потенциал» поля А согласно . В плоском случае вектор Е лежит в плоскости и зависит только от этих двух координат.

Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда компоненты напряженности выражаются в виде производных от или А согласно

Но такие соотношения между производными функций и А с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши — Римана, выражающими тот факт, что комплексное выражение

является. аналитической функцией комплексного аргумента Это значит, что функция имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от направления, в котором она берется. Так, дифференцируя в направлении оси найдем, что

или

Функция w называется комплексным потенцийлом.

Силовые линии поля определяются уравнением

Выражая через производные от А, перепишем это уравнение в виде

откуда (х, у) = const. Таким образом, линии постоянных значений мнимой части функции представляют собой силовые линии поля. Линии же постоянных значений ее вещественной части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается уже исходными соотношениями (3,14), согласно которым

Как вещественная, так и мнимая части аналитической функции в равной степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому с тем же успехом можно принять в качестве потенциала поля. Соответственно силовые линии будут тогда даваться уравнениями . Вместо (3,15) будем при этом иметь

Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом

где есть элемент эквипотенциальной линии, а — направление нормали к ней. Согласно соотношениям (3,14) имеем причем выбор знака предполагает, что если смотреть в направлении , то положительное направление — влево. Поэтому

где — значения А на обоих концах отрезка. В частности, поток электрического поля через замкнутый контур равен где — полный заряд, охватываемый этим контуром (отнесенный к единице длины проводников вдоль оси ). Поэтому

где — изменение А при обходе замкнутой эквипотенциальной линии в направлении против часовой стрелки.

Простейшим примером комплексного потенциала является потенциал поля заряженной прямой нити (совпадающей с осью ). Напряженность этого поля дается формулами

где - полярные координаты в плоскости , а — заряд единицы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал

Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку то комплексный потенциал

где

С математической точки зрения функциональное соотношение осуществляет конформное отображение плоскости комплексного переменного z на плоскость комплексного переменного w. Пусть С есть контур сечения проводника в плоскости — потенциал этого проводника. Из всего сказанного выше ясно, что задача об определении поля, создаваемого этим проводником, сводится к нахождению такой функции , которая отображала бы контур С в плоскости на линию параллельную оси ординат в плоскости тогда вещественная часть даст потенциал рассматриваемого поля (если же функция ) отображает контур С на линию, параллельную оси абсцисс, то потенциал дается функцией

Задача о клине. Приведем здесь для справок формулы, определяющие поле, создаваемое точечным зарядом , расположенным в пространстве между двумя пересекающимися проводящими полуплоскостями. Пусть ось цилиндрической системы координат совпадает с линией края угла, причем угол отсчитывается от одной из его сторон; заряд пусть находится в точке (рис. 2). Угол раствора а между плоскостями может быть как меньше, так и больше в последнем случае мы имеем дело с зарядом, расположенным вне проводящего клина.

Рис. 2.

Потенциал поля дается формулой

на поверхности проводника, т. е. при , потенциал (Н. М. Macdonald, 1895).

В частности, при получается проводящая полуплоскость в поле точечного заряда. В этом случае интеграл (3,20) вычисляется в конечном виде и дает

В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке нахождения заряда , потенциал (3,21) принимает вид

Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающийся в бесконечность при — изменение потенциала в точке нахождения заряда под влиянием проводника.

Энергия взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть

Задачи

1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного щара (радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле

Решение. Пишем потенциал в виде где потенциал внешнего поля, а — искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Ввиду симметрии шара функция может зависеть лишь от одного постоянного вектора Единственное такое решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, есть

(начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара должно быть постоянным; отсюда находим так что

— угол между векторами . Распределение зарядов по поверхности шара дается формулой

полный заряд

Дипольный момент шара проще всего найти путем сравнения с потенциалом поля электрического диполя; найдем

2. То же для бесконечного цилиндра в поперечном однородном поле. Решение. Вводим полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Решение двумерного уравнения Лапласа, зависящее только от одного постоянного вектора, есть

Складывая с и положив получим

Поверхностная плотность зарядов

Дипольный момент единицы длины цилиндра можно найти путем сравнения с потенциалом двумерного дипольного поля. Последний имеет вид

так, что

3. Определить поле вблизи клиновидного края на проводнике.

Решение. Выбираем полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к краю клина, и с началом в вершине образуемого им угла (рис. 3). Угол пусть отсчитывается от одной из сторон клина; области вне проводника соответствуют значения Вблизи края угла потенциал можно разложить по степеням , причем нас интересует первый (после постоянного) член этого разложения, содержащий наиболее низкую степень .

Решения двумерного уравнения Лапласа, пропорциональные суть Решение с наименьшим , удовлетворяющее условию при (на поверхности проводника), есть

Рис. 3.

Напряженность поля, соответственно, зависит от как При следовательно, напряженность обращается вблизи края угла в бесконечность. В частности, для очень тонкого клина растет при уменьшении как Вблизи же края клиновидной вогнутости на поверхности проводника поле стремится к нулю.

Значение может быть определено только из решения задачи для всего поля в целом. Так, для очень тонкого клина в поле точечного заряда предельный переход к малым в (3,21) подтверждает закон

причем

Слова «вблизи клиновидного края» означают в этом случае условие при выполнении которого можно пренебречь членом в уравнении Лапласа.

4. Определить поле вблизи конца тонкого конического острия на поверхности проводника.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в вершине и с полярной осью вдоль оси конического острия. Угол раствора конуса пусть будет так что области вне проводника соответствуют значения полярного угла Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, ищем решение (для переменной части потенциала), симметричное относительно оси конуса, в виде

с наименьшим возможным . Уравнение Лапласа

после подстановки этого выражения дает

Условие постоянства потенциала на поверхности острия означает, что должно быть

При малом ищем решение, сделав предположение, что имеет вид , где , т. е. для бесконечно тонкого острия, естественно ожидать, что стремится к постоянной почти во всей области вокруг острия). Для получаем уравнение

Решение, в котором не имеет особенностей в области вне острия (в частности, при ), есть

При функция перестает быть малой. Тем не менее полученное выражение остается применимым, так как в этой области в силу малости 0 можно вообще пренебречь вторым членом уравнения (2). Для определения постоянной в первом приближении надо потребовать обращения в нуль найденной выше функции при Таким образом, найдем

Напряженность поля неограниченно возрастает при приближении к концу острия как т. е. в основном как .

5. То же для тонкого конического углубления на поверхности проводника.

Решение. Области вне проводника теперь соответствуют значения Как и в предыдущей задаче, ищем в виде (1), но теперь будет . Поскольку по всей области поля теперь , то уравнение (2) можно написать в виде

Это уравнение Бесселя, и его решение, не имеющее особенностей в области поля, есть Значение определяется как наименьший корень уравнения откуда

6. Определить энергию притяжения электрического диполя к плоской поверхности проводника.

Решение. Выбираем ось перпендикулярной к поверхности проводника и проходящей через точку нахождения диполя; вектор дипольного момента пусть лежит в плоскости «Изображение» диполя находится в точке — х и имеет дипольный момент Искомая энергия притяжения вычисляется как энергия взаимодействия диполя с его «изображением» и равна

7. Определить взаимную емкость единицы длины двух параллельных бесконечных цилиндрических проводников (радиусов а и b, расстояние между осями с).

Решение. Поле, создаваемое обоими цилиндрами, совпадает с полем, которое создавалось бы (в пространстве вне цилиндров) двумя заряженными нитями, проходящими через соответствующим образом подобранные точки А и А' (рис. 4). Нити несут (на единице длины) заряды , равные зарядам цилиндров, а точки А и А' должны быть расположены на линии 00 так, чтобы поверхности цилиндров совпадали с эквипотенциальными поверхностями.

Для этого расстояния ОА и должны удовлетворять соотношениям

л. е.

Рис. 4.

Тогда на каждой из окружностей отношение расстояний от точек А и А' постоянно: на окружности

а на окружности Соответственно, потенциалы цилиндров:

Отсюда находим для искомой взаимной емкости

В частности, для цилиндра радиуса а, находящегося на расстоянии от проводящей плоскости, надо положить и перейти к пределу это дает

Если два полых цилиндра находятся один внутри другого ), то поле снаружи отсутствует, а поле в пространстве между цилиндрами совпадает с полем, которое создавалось бы двумя нитями с зарядами и —е, проходящими через точки А и А (рис. 5). Тем же способом получим результат:

Рис. 5.

8. Граница проводника представляет собой неограниченную плоскость с выступом в виде полушария. Найти распределение зарядов на поверхности.

Решение. В найденном в задаче 1 поле с потенциалом вида

плоскость с выступом является эквипотенциальной поверхностью (на которой ). Поэтому она может быть и поверхностью проводника, а написанная формула определяет поле вне проводника.

Распределение зарядов на плоской части поверхности дается формулой

(мы положили где — плотность зарядов вдали от выступа). На поверхности же выступа

9. Определить дипольный момент тонкого проводящего цилиндрического стержня (длины , радиуса ) в электрическом поле параллельном его оси.

Решение. Пусть индуцированный на поверхности стержня заряд, отнесенный к единице длины; — координата вдоль оси цилиндра, которую будем отсчитывать от его середины. Условие постоянства потенциала на поверхности проводника гласит:

— угол между плоскостями, проходящими через ось цилиндра и через точки на его поверхности, расстояние между которыми равной). Разобьем интеграл на две части, написав в нем тождественно . Учитывая, что и рассматривая точки, не слишком близкие к концам стержня, имеем

использовано известное значение . В интеграле, содержащем разность , можно пренебречь членом с в R, так как это не повлечет за собой расходимости интеграла. Таким образом,

Зависимость от в основном сводится к пропорциональности ; в этом приближении стоящий здесь интеграл дает — результате получаем

Это выражение непригодно вблизи концов стержня, но для вычисления искомого дипольного момента эта область значений z несущественна. С принятой нами здесь точностью имеем:

(где - большое число), или, с той же точностью,

10. Определить емкость полого сферического проводящего сегмента.

Решение. Выберем начало координат О в какой-либо точке края сегмента (рис. 6) и произведем преобразование инверсии ( - длина хорды в главном сечении сегмента). При этом сегмент переходит в полуплоскость (штриховая прямая на рис. 6), перпендикулярную к радиусу АО сегмента и проходящую через точку В его края; угол где — угол раствора сегмента.

Рис. 6.

Если потенциал сегмента, несущего на себе заряд , принять за нуль, то при потенциал поля стремится к

Соответственно, в преобразованной задаче при потенциал стремится

(первый член соответствует заряду в начале координат).

С другой стороны, согласно (3,22) имеем

(потенциал вблизи заряда находящегося на расстоянии l от края проводящей полуплоскости с потенциалом нуль). Сравнив оба выражения, получим для искомой емкости следующую формулу:

( — радиус сегмента).

11. Определить связанную с краевыми эффектами поправку к значению для емкости плоского конденсатора (S — площадь поверхности обкладки, d — расстояние между обкладками; ).

Решение. Наличие у обкладок свободных краев нарушает равномерность распределения зарядов на них. Для определения искомой поправки в первом приближении рассматриваем точки обкладок, удаленные от края на расстояния такие, что Рассматривая, например, верхнюю обкладку (с потенциалом рис. 7, а) и пренебрегая ее расстоянием до средней плоскости (эквипотенциальная поверхность мы получаем задачу о поле вблизи границы двух частей плоскости, имеющих различные потенциалы (рис. 7, б).

Рис. 7.

Эта задача решается элементарно 3), и в результате для избыточной (по сравнению с а вдали от края) плотности зарядов получается выражение

так что полный избыточный заряд

( - длина периметра обкладки); при вычислении логарифмически расходящегося интеграла в качестве верхнего и нижнего пределов подставляем границы области .

Отсюда находим емкость:

Более точное вычисление (определение коэффициента в аргументе логарифма) требует применения значительно более сложных методов, причем результат зависит от формы обкладок. Для круговых (радиуса R) обкладок получается

(формула Кирхгофа).