Оценка ошибок параллельных опытов

Результаты эксперимента для каждой строки опытов записываются в столбцы y_im таблицы (m параллельных опытов) и производится их усреднение

.

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического y_q – , где y_q – результат отдельного опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости (вариации) значений повторных опытов вследствие различных погрешностей. Для характеристики этой изменчивости чаще всего используют дисперсию.

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначается s² и выражается формулой

,

где (m–1) – число степеней свободы, (одна степень свободы использована для вычисления среднего).

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется средним квадратическим отклонением(квадратичной ошибкой, или стандартом).

S(σ) = √¯s²

Дисперсия и с.к.о. – это меры рассеяния, изменчивости величины. Ошибка опыта является результатом многих ошибок: ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др. Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие.

Все ошибки принято разделять на два класса: систематические и случайные. Систематические ошибки порождаются причинами, действующими регулярно, в определенном направлении, которые часто можно изучить и определить количественно. Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями. Если систематические ошибки вызываются внешними условиями (переменой температуры, сырья и т.д.), следует компенсировать их влияние с помощью рандомизации. Случайными ошибками называются те, которые появляются нерегулярно, причины возникновения которых неизвестны и которые невозможно учесть заранее.

Систематические и случайные ошибки состоят из множества элементарных ошибок. Для того чтобы исключать инструментальные ошибки, следует проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта.

Очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки, или промахи при повторных опытах. Нельзя делать это самовольно, для отброса ошибочных опытов существуют правила (Q-тест по критерию Стьюдента, критерий «три сигма» и др.).

Дисперсия параметра оптимизации (дисперсия воспроизводимости) подсчитывается в каждом опыте, т.е. в каждой строке матрицы планирования. Дисперсия всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсий всех опытов..

Дисперсию воспроизводимости проще всего рассчитывать при одинаковом m. На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Уменьшение происходит вследствие отброса грубых наблюдений, увеличение – из-за повторения сомнительных опытов. Тогда при усреднении приходится пользоваться средним взвешенным значением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы. Число степеней свободы средней дисперсии в таком случае принимается равным сумме чисел степеней свободы дисперсий, из которых она вычислена. M = (m₁-1)+(m₂-1)+…

Формулами для расчета дисперсии воспроизводимости можно пользоваться только в том случае, если дисперсии однородны, т.е. среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные. Это обязательное условие регрессионного анализа, т.е. составления адекватной модели.

Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. Критерий Фишера (F-критерий) здесь представляет отношение большей дисперсии к меньшей. Если полученная величина не превышает табличную – дисперсии однородны.

Если сравниваются 3 и более дисперсий и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов. Критерий Кохрена – это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий

.

Этот критерий определяется числами степеней свободы f₁=m–1 и f₂=N.

Однородность дисперсий подтверждается, если вычисленное значение G окажется меньше значения G_крит, найденного по таблице для выбранного уровня значимости α. Тогда можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой для определения дисперсии воспроизводимости

Если проверка воспроизводимости дала отрицательный результат, то в объекте есть источники неоднородности, для выделения которых следует применить дисперсионный анализ.