Векторные пространства и их преобразования

Линейным векторным пространством называется множество векто­ров (любой природы), для которых определено два действия: сложение и умножение на произвольное число. Линейные n-мерные векторные пространства будем обозначать Ln.

Если х={х12,...хn} є Ln иу={у1, у2,... уп}є L, то

1. х = у , если хі = уі , i = 1, n

2. х+у= {х1 + y12 + у2,. ...хпп „ } єLn.

3. mх = {mx1, тх2,..., mxп} є Ln.

Приведенные определения позволяют рассматривать векторы обще­го вида не обязательно геометрической природы.

Примеры линейных пространств:

а) множество геометрических векторов R3;

б) множество всех многочленов Рп(х), степени не превосходящей n;

в) множество матриц Amn, размерности mn;

г) пусть хi,i = 1,n -количество i-го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы видах={х12,...хn}могут задавать суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящего­ся на складе и т.д.

Любая совокупность n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линей­ной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2).

Пример 1.5.1. Показать, что система векторов

 
  Векторные пространства и их преобразования - student2.ru

образует базис в пространстве квадратных матриц

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Представить матрицу А22 в виде линейной комбинации векторов Si, i=l,4.

Составим линейную комбинацию

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Mы получили, что линейная комбинация векторов Si , i=1,n равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определения (см. тему 1.2) векторы Si , i=1,n линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов.

Разложение матрицы А22 по базису Si , i=1,n имеет вид:

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Линейное пространство называется евклидовым, если в нем каж­дой паре векторов х, y сопоставлено число, которое называется ска­лярным произведением этих векторов, обозначается (х, у) и удовле­творяет аксиомам:

1.(х, у)=(у, х)

2. (х1+ х2 , у) = (х1, у) + (х2 , у)

3. (αх, у) = α (х, у);

4. (х, х)>0, х ≠ 0 и (x,x)=0, если х=0.

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
называется нормой вектора в евклидовом про­странстве.

Неравенство |(х,y)|≤║x║х║y║называется неравенством Коши-Буняковского.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (х, у )=0.

Линейные преобразования. Если указано правилоf, по которому каждому вектору х линейного пространства Ln ставится в соответствие единственный вектор уэтого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).

Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространств х1, х2 , х и любого λєR выполняются условия

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Если линейное пространство L n-мерное пространство, а f линейное преобразование (оператор) осуществляющее отображениe y=f(x), x(x1,x2,...xn), у(у1, y2, ..., yn) є L, тo можно построить матрицу этого преобразования

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.

Пример 1.5.2. Показать, что преобразование y=a x x, где а(а12, а3) -постоянный вектор, х(х1, x2, x3), y(y1, y2, y3 ecть линейное в ли­нейном пространствеL3 и построить его матрицу А .

Чтобы доказать линейность преобразования y=a x x достаточно проверить свойства (1.5.1).

Пусть x1, x2 є L3 , λєR , тогда у(х1+ х2) =а х (х1+ х2) = а х х1 + а х х2

у(λх)= а х (λх)= λ (а х х), т.е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование y=a x x линейно.

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Построим матрицу преобразования

Предположим в линейном пространстве Ln заданы базисы еi, i=1,n и mi, i=1, а также матрица A линейного преобразования f в базисе еi, i=1. Тогда матрица линейного преобразования в базисе mi, i=1, будет иметь вид

B=T-1 AT, (1.5.3)

где T -матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 1.5.3. В базисе e1 ,e2 преобразование f имеет матрицу

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
Найти матрицу преобразования f в базисе m1=е1 - е2 , т2=2ё2+3е2.

Матрица

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru
(координаты векторов m1 и т2 записываются в столбцы, соответственно в первый и второй).

Векторные пространства и их преобразования - student2.ru

Наши рекомендации