Дифференциальные уравнения
Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения 
и частное решение, удовлетворяющее начальному условию 
при 
.
20.1. 
.
20.2. 
.
20.3. 
.
20.4. 
.
20.5. 
.
20.6. 
.
20.7. 
.
20.8. 
.
20.9. 
.
20.10. 
.
Задача 21.Найти общее решение дифференциального уравнения
21.1. 
. 21.2. 
.
21.3. 
. 21.4. 
.
21.5. 
. 21.6. 
.
21.7. 
. 21.8. 
.
21.9. 
. 21.10. 
.
Задача 22.Найти общее решение дифференциального уравнения 
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
при 
.
22.1. 
.
22.2. 
.
22.3. 
.
22.4. 
.
22.5. 
.
22.6. 
.
22.7. 
.
22.8. 
.
22.9. 
.
22.10. 
.
Задача 23.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 
.
23.1. 
23.2. 
23.3. 
23.4. 
23.5. 
23.6. 
23.7. 
23.8. 
23.9. 
23.10. 
Ряды
Задача 24.Исследовать сходимость числового ряда 
.
24.1. 
. 24.2. 
.
24.3. 
. 24.4. 
.
24.5. 
. 24.6. 
.
24.7. 
. 24.8. 
.
24.9. 
. 24.10. 
.
Задача 25.Найти интервал сходимости степенного ряда 
.
25.1. 
. 25.2. 
.
25.3. 
. 25.4. 
.
25.5. 
. 25.6. 
.
25.7. 
. 25.8. 
.
25.9. 
. 25.10. 
.
Задача 26.Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену 
, где 
; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
26.1. 
26.2. 
26.3. 
26.4. 
26.5. 
26.6. 
26.7. 
26.8. 
26.9. 
26.10. 
Задача 27.Вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.
27.1. 
.27.2. 
.
27.3. 
. 27.4. 
.
27.5. 
. 27.6. 
.
27.7. 
. 27.8. 
.
27.9. 
. 27.10. 
Задача 28.Выразить определенный интеграл 
в виде сходящего ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 
.
28.1. 
28.2. 
28.3. 
28.4. 
28.5. 
Выразить определенный интеграл 
в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.
28.6. 
28.7. 
28.8. 
28.9. 
28.10. 
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 29
29.1.Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного вопроса.
29.2.В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
29.3.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.
29.4.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.
29.5.Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
29.6.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
29.7.В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.
29.8.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 раз и не более 90 раз.
29.9.На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливается 10 %, на втором – 30 %, на третьем – 60 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором станке и 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
29.10.Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.
Задача 30.Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
30.1. 
30.2. 
30.3. 
30.4. 
30.5. 
30.6. 
30.7. 
30.8. 
30.9. 
30.10. 
Задача 31.Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания 
нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю 
, объемом выборки n и среднее квадратическое отклонение 
.
31.1. 
31.2. 
31.3. 
31.4. 
31.5. 
31.6. 
31.7. 
31.8. 
31.9. 
31.10. 
В задачах 32-36 исходные данные определяются по номеру зачетной книжки (шифру) студента. Положим значения A, B, C равными соответствующим трем последним цифрам шифра (отметим, что если какая-то цифра шифра равна 0, то соответствующее ей значение A,B или C принимается равным 10).
Задача 32.В каждой из трех урн содержится C черных и B белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
Задача 33. Имеется три партии деталей по (10+A+B+C) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10+A), (10+B), (10+C). Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.
Задача 34. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):
Требуется:
а) найти плотность распределения вероятностей;
б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале 
Для задачи 3 необходимые параметры вычисляем по формулам:
Задача 35. Дано статистическое распределение выборки
 |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |
где 
; 
Требуется:
1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.
2. Построить нормальную кривую.
3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение 
и доверительная вероятность 
.
Задача 36
Найти: 1) выборочное уравнение прямой 
регрессии Y на X;
2) выборочное уравнение прямой 
регресии X на Y.
Построить диаграмму рассеивания и графики уравнений регрессии по данной корреляционной таблице:
 |  |  |  |  |  |  |  |  |
 | ||||||||
 | ||||||||
 | ||||||||
 | C+7 | 18+C | ||||||
 | B+4 | 23-B-C | 32-C | |||||
 | ||||||||
 | ||||||||
 | ||||||||
 | ||||||||
 | 17+B+C | 40-B-C |  |
где hx=0,7C; 
=2,2A+0,3C; hy=0,6B; 
=y1+(i-1)hy , 
.