Учет массы упругой системы при колебаниях

Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, а из закона сохранения энергии.

Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остается постоянным, получаем уравнение

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru (4)

Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю и кинетическая энергия (T=0), потенциальная энергия груза и системы достигает наибольшего значения Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru ; наоборот, в положении равновесия Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru и Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru .

Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы здесь сводится к простейшей задаче и мы сможем приближенно найти лишь одну (первую) частоту свободных колебаний.

Рассмотрим теперь некоторые примеры использования исходного уравнения.

В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему концу призматического стержня длиной l, площадью поперечного сечения F и удельным весом Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru (Рис. 4). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный самому себе груз начнет совершать продольные колебания около положения равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз — стержень.

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Рис.4. Расчетная схема колебаний подвешенного груза

Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится на Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , где Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru — потенциальная энергия системы в начальный момент (в положении равновесия), a Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru — в момент t.

Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru ; потенциальная энергия стержня в тот же момент равна Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , где Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru — статическая деформация стержня от груза Q.

Таким образом,

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отношении Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . Поэтому

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru (5)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru и стержня Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . Кинетическая энергия груза Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . При вычислении кинетической энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.

Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению к закрепленному концу меняются по тому же закону, что и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким образом, если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , переместится на величину Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , скорость этого сечения будет равна Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . Живая сила элемента стержня длиной Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , отстоящего на Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru от закрепленного конца, будет равна:

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , т.е.

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и находим:

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

или

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Здесь Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru — статическая деформация от груза Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . Полученное дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru называют приведенной массой стержня.

Лекция № 49. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке.

Основные положения

Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.

При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая удар. Аналогичные явления происходят при ковке; удар испытывают и проковываемое изделие и шток молота с бойком, так как последний очень быстро останавливается при соприкосновении с изделием. Во время удара между обеими ударяющимися деталями возникают весьма большие взаимные давления. Скорость ударяющего тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело останавливается. Значит, на него от ударяемой детали передаются очень большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т. е. передается реакция Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение.

Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru , где Q — вес ударяющего тела. По закону равенства действия и противодействия на ударяемую. часть конструкции передается такая же сила, но обратно направленная (рис.1). Эти силы и вызывают напряжения в обоих телах.

Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru

Рис.1. Расчетная схема ударного нагружения.

Таким образом, в ударяемой части конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела; мы можем вычислить эти напряжения, рассматривая силу инерции Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru как статическую нагрузку нашей конструкции. Затруднение заключается в вычислении этой силы инерции. Продолжительности удара, т. е. величины того промежутка времени, в течении которого происходит падение скорости до нуля, мы не знаем. Поэтому остается неизвестной величина ускорения а, а стало быть, и силы Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru . Таким образом, хотя вычисление напряжений при ударе представляет собой частный случай задачи учета сил инерции, однако для вычисления силы Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru и связанных с ней напряжений и деформаций здесь приходится применять иной прием и пользоваться законом сохранения энергии.

При ударе происходит очень быстрое превращение одного вида энергии в другой: кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию деформации. Выражая эту энергию в функции силы Учет массы упругой системы при колебаниях - student2.ru или напряжений, или деформаций получаем возможность вычислить эти величины.

Наши рекомендации