Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей

ДЕ3.Дифференциальная геометрия

Уравнение касательной плоскости к прямому геликоиду в точке имеет вид …

2) Тема: Дифференциальная геометрия кривых

Длина дуги кривой при равна

Решение:

Длина дуги кривой вычисляется по формуле где дифференциал дуги. Вычислив получаем .

3) Тема: Основные понятия топологии

Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является пустое множество

Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.

4) Тема: Асимптоты кривой

Асимптоты кривой имеют вид и

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке имеет вид …

Решение:
Для функции вида уравнение касательной плоскости имеет вид Найдем частные производные функции : Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: Получим

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение нормального ускорения в момент равно …

Решение:
Нормальное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как Вычислим производные первого и второго порядка. Найдём Тогда при

Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …

Решение:
Внешность – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству , то есть входящих в дополнение к с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Таким образом, внешностью множества в данном случае будет

Тема: Асимптоты кривой
Уравнение асимптоты кривой, заданной в полярной системе координат , имеет вид …

Решение:
Из условия существования асимптоты кривой получаем что . Так как , то уравнение асимптоты имеет вид:

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение касательной к циклоиде в точке имеет вид …

Решение:
В точке . Найдем производные:
Тогда
Подставляя полученные данные в уравнение касательной , получим или

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …

Решение:
Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; .
Тогда вектор нормали в точке будет равен:

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Кривая задана в полярных координатах: . Тогда длина дуги при , равна …

Решение:
Так как дифференциал дуги , то длина дуги вычисляется как:

Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты графика кривой , заданной в полярных координатах, имеют вид …

Решение:
Из условия существования асимптоты кривой получаем что .Так как , и , , , .

То есть

Тогда график имеет две асимптоты:

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид …

Решение:
Представим неявно заданную кривую в виде функции .
Так как уравнение нормали кривой, заданной неявно, имеет вид , вычислим частные производные функции :

Их значения в точке равны:

Тогда, подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим

или

Тема: Асимптоты кривой
Кривая на плоскости задана уравнениями в параметрической форме:
, .
Тогда количество асимптот кривой равно …

Решение:
Из условия существования горизонтальных асимптот:
, , и , , следует, что – горизонтальная асимптота.
Из условия существования вертикальных асимптот: , следует, что, так как нет таких , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Из условия существования наклонных асимптот имеем:
,

То есть – наклонная асимптота. Всего асимптот две.

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …

Решение:
Параметризуем сферу :

Запишем ее в виде вектор-функции и вычислим ее частные производные: ; .
Коэффициенты первой квадратичной формы определим по формулам
;
;
.
Тогда
;
;
.
Таким образом,

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением
Тогда значение касательного ускорения в момент равно …

Решение:
Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как
.
Вычислим производные первого и второго порядка.


Найдем , при любых значениях .

Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …

			и
			и

Решение:
Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде.
В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: .
Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ).
1. Находим асимптоту при (правую асимптоту):
,
.
Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: .
2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту):
,
.
Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: .
Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами на поверхности является …

			гиперболической точкой
			параболической точкой
			эллиптической точкой
			точкой уплощения

Решение:
Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности.
Построим соприкасающийся параболоид:
.
Вычислим частные производные второго порядка:
; ; .
В точке ; ; .
Тогда соприкасающийся параболоид , или является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Огибающая семейства сфер имеет вид …

Решение:
Из системы следует, что
, .
Таким образом, огибающая имеет вид . Это цилиндр.

Тема: Основные понятия топологии
Гомеоморфной к тору является …

			«кружка с ручкой»
			сфера
			«крендель»
			куб

Решение:
Тор является многосвязным, а сфера и куб являются односвязными. Род тора равен 1, а род «кренделя» 2. Только с поверхностью «кружки с ручкой» можно установить взаимно-однозначное соответствие, поэтому поверхностью гомеоморфной к тору является поверхность «кружки с ручкой».

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами на поверхности является …

			гиперболической точкой
			параболической точкой
			эллиптической точкой
			точкой уплощения

Решение:
Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности.
Построим соприкасающийся параболоид:
.
Вычислим частные производные второго порядка:
; ; .
В точке ; ; .
Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.

Тема: Основные понятия топологии
Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …

Решение:
Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства:
– пустое множество и данное множество входят в ;
– объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит .
А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .

Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …

			и
			и

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
К кривой проведена нормаль, параллельная прямой . Тогда уравнение нормали имеет вид …

Решение:
Угловой коэффициент прямой . Так как касательная перпендикулярна нормали, точку касания найдем из условия , или . Решив это уравнение, получим , .
Тогда уравнение нормали примет вид: или

Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты графика функции задаются уравнениями …

			,
			,
			,

Решение:
Функция представлена в явном виде .
В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид .
Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ).
1. Находим асимптоту при (правую асимптоту):
,
.
Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид .
2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту):
;
.
Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптотой и имеет вид .
Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.

Тема: Основные понятия топологии
Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …

Решение:
Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства:
– пустое множество и данное множество входят в ;
– объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит .
А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …

Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением
Тогда значение касательного ускорения в момент равно …

Решение:
Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как
.
Вычислим производные первого и второго порядка.


Найдем , при любых значениях .

Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …

Решение:
Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; .
Тогда вектор нормали в точке будет равен:

Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид …

Решение:
Для кривой, заданной неявно многочленом - ой степени уравнения асимптот задаются соотношением: ,
где - совокупность членов степени , а и находятся из уравнения .
Составив уравнение , получим зависимость между и : .
Так как ; ; ,
то уравнение асимптоты примет вид: и