Прогнозирование экономических процессов, содержащих периодическую компоненту

Наличие периодических колебаний во временном ряду можно определить по виду графика.

Для определения периодичности можно использовать автокорреляционную функцию. Наличие выбросов (пиковых значений) в автокорреляционной функции r(t) указывает на временной лаг. Если выбросы повторяются, то можно предположить наличие периодической составляющей в исследуемом ряду.

Для прогнозирования рядов, содержащих периодическую составляющую, можно использовать различные модели: индексные сезонные модели, гармоники Фурье, адаптивные модели сезонных колебаний, фиктивные переменные.

1. Модель прогноза с помощью индексов сезонности на любой месяц (квартал) можно представить следующим образом:

где - индекс сезонности i-го месяца или квартала (i = 1, 2, ... , 12; либо i = 1, 2, 3, 4), выраженный в коэффициентах. В общем виде индексы сезонности определяются как процентное соотношение фактического уровня ряда к некоторому теоретическому уровню, принятому за базу ;

оценка исследуемого показателя, вычисленная по уравнению тренда, если временной ряд не имеет ярко выраженной тенденции, то вместо оценки тренда используется средний уровень ряда;

2. Моделирование ряда, имеющего периодическую составляющую, можно производить при помощи гармоник Фурье. Если предположить, что в будущем периоде сохранится эта же амплитуда колебаний, то можно попытаться оценить значение исследуемого показателя на перспективу. В общем виде модель развития того или иного социально-экономического явления, исходя из взаимосвязи компонент, можно записать так:

где a₀, a_k, b_k - коэффициенты Фурье, которые определяются из следующих отношений:

k- гармоника ряда, которая чаще всего берется целым числом от 1 до 4

T- период колебаний.

Первая гармоника выглядит следующим образом

Ряд Фурье с двумя гармониками имеет вид:

где и т.д.

Наиболее подходящей считается такая гармоника, при которой средняя квадратическая ошибка имеет наименьшее значение.

При прогнозирование ряда, имеющего тенденцию развития, значение среднего уровня а₀ заменяется оценкой тренда .

3. Временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны при помощи адаптивных моделей с мультипликативными и аддитивными коэффициентами сезонности, где – величина, характеризующая тенденцию развития явления; - мультипликативные коэффициенты сезонности; - аддитивные коэффициенты сезонности;

m – количество фаз в полном сезонном цикле (m =12 или m= 4),

ε_t – случайная компонента с нулевым математическим ожиданием.

Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого показателя. Модель Хольта-Уинтерса объединяет мультипликативно линейный рост и сезонный эффект. Общее выражение для прогноза по этой модели на l шагов вперед следующее:

, l < m.

Прогноз по модели Тейла - Вейджа определяется выражением:

, l < m.

4. При моделировании временных рядов с сезонной составляющей можно использовать модель регрессии с фиктивными переменными. Количество фиктивных переменных в модели регрессии должно быть на единицу меньше, чем количество сезонов (т.е. или равно трем, если данные поквартальные, или равно одиннадцати, если дана помесячная динамика). Каждая фиктивная переменная отражает определенный сезон внутри годового цикла и равна единице для этого периода и нулю – для остальных.

Модель регрессии с фиктивными переменными для ряда, имеющего основную тенденцию, выглядит следующим образом:

,

где f(t) – функция линии тренда. Например, для линейного тренда , a_j, c_j – коэффициенты регрессии, определяемые по методу наименьших квадратов.

z_j – фиктивные переменные:

z_j =

Коэффициенты c_j характеризуют отклонения уровней временного ряда от уровней, учитывающих сезонные воздействия в квартале, взятого за базу сравнения.